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高三数学极坐标与参数方程复习


一、知识回顾
1、P 是以 F1、F2 为焦点的椭圆上一点,过焦点 F2 作∠F1PF2 外角平分线的垂线, 垂足为 M,则点 M 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 2、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的 最大值为 3;最小值为 1。求椭圆 C 的标准方程;

3、双曲线 C 与椭圆



x2 y 2 ? ? 1 有相同的焦点,直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线。 8 4

求双曲线 C 的方程。

二、知识新授
(一)极坐标及极坐标和直角坐标的互化 ①.极坐标系 在 平面内取一个定点 O, 叫极点,引一条射线 Ox,叫做极轴,再选定一个长 度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内任何一点 M,用 ρ 表示 线段 OM 的长度,θ 表示从 Ox 到 OM 的角度,ρ 叫做点 M 的极径,θ 叫做点 M 的极角,有序数对 (ρ,θ)就叫点 M 的极坐标,这样建立的坐标系叫做极坐标系。

1

练习:

②极坐标与直角坐标的互化
x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ? 2 ? x 2 ? y 2 , tan ? ?

例 2.将点 M 的直角坐标 ? 3,?1 化成极坐标

?

?

y x

练习:
? 5? ?7 ? ? , ? ,0 ? , ? 2,?2 3 ,求它们的极 2.已知点的直角坐标分别为 3, 3 ,? 0,? ? 3 ? ?2 ? ? ?

?

?

?

?

坐标

2

? ?? ? 2 ? ? ?? ? 3 ? 3.已知点的极坐标分别为 ? 3, ? , ? 2, ? ? ,? 4, ? , ? , ? ? ,求它们的直角坐 ? ? 4? ? 3 ? ? 2? ? 2 ? ?



?? ? ? 2 ? 4.在极坐标系中,已知两点 A? 3,? ? , B?1, ? ? ,求 A、B 两点间的距离 3? ? ? 3 ?

(二)极坐标方程与直角坐标方程的相互转化 例 3.请将下列方程进行互化(直角坐标化为极坐标,极坐标化为直角坐标) ? (1) x ? 4 ; (2) x ? y ? 2 ; (3) ? sin ? ? 1 ; (4) ? sin(? ? ) ? 5 4

练习: 5.请将下列方程进行互化(直角坐标化为极坐标,极坐标化为直角坐标) (1) y ? 2 ? 0 ; (2) 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ; (3) x 2 ? y 2 ? 16 (4) ? ?2 cos? ? 5 sin ? ? ? 4 ? 0 ; (5) ? ? ?10sin ? ; (6) ? ? 2 cos? ? 4 sin ?

3

6.在极坐标系 ( ? ,? ) (0 ? ? ? 2? ) 中,曲线 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 与 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 的交点的极坐标为 .

7 .在极坐标系中,点 ?1,0 ? 到直线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 2 的距离为



8. 两 直 线 (判断垂直或平行或斜交)

的 位 置 关 系 是

9、在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴 垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两点,则 | AB |? _________ _

(三)极坐标综合训练 1、极坐标分别为 ? =cos ? 和 ? =sin ? 的两个圆的圆心的距离是?

2、已知 A,B 两点极坐标分别为(2,

? ? ),( 3, ),则△ABO 的面积为 6 2

.

3、已知圆的极坐标方程为 ? =2cos( ? +

? ),则该圆的半径? 4

4

4、设点 A 的极坐标为(2, 坐标方程为?

? ? ),直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ,则 l 的极 6 3

5、定点 A( 3 , 坐标为?

?
2

),点 B 在曲线 ? =2cos ? 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的极

6、曲线 ? =4cos( ? ?

?
3

)上任意两点的距离最大值

7、曲线 ? =2 2 上有 n 个点到曲线 ? cos( ? +

? )= 2 的距离为 2 ,求 n 的值. 4

(四)参数方程 直线的参数方程: 圆的参数方程: 椭圆的参数方程: 双曲线的参数方程: 抛物线的参数方程:

5

例 1.将参数方程转化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线:
? x ? t ? 1, ? (1) ? ( t 为参数) ?y ? 1? 2 t; ?

? x ? sin ? ? cos? , (2) ? ( ? 为参数) ? y ? 1 ? sin 2?

? x ? ?1 ? t , 练习:1、极坐标方程 ? ? cos? 和参数方程 ? (t 为参数)所表示的图形 ? y ? 2 ? 3t
分别是 A.圆、直线 B. 直线、圆[:学+网]C.圆、圆 D.直线、直线
5 2 ? ? x ? 5 cos ? ?x ? t ? 2、两曲线参数方程分别为 ? (0≤?<? ) 和 ? 4 (t ? R ) ,它们的交 ? y ? sin ? ?y ? t ? ?

点坐标为

.

? x= t 3、若点 P(4,a)在曲线 ? 2 (t 为参数)上,点 F(2,0),则|PF|等于( ? ? y=2 t ?

). D.7

A.4

B.5

C.6

4、若实数 x,y 满足 x2 ? y 2 ? 1,则 x ? 2 y ? 1 的最大值是 值 。

,最小

5、已知直线 l 经过点 P(1,1),倾斜角 ? ?

?
6

, (1)写出直线 l 的参数方程。

(2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A、B,求点 P 到 A、B 两点的距离之积。

x2 y2 1 0)之间距离的最小值 ? ? 1 上一点P与定点(, 6、求椭圆 。 9 4

6

(五)极坐标与参数方程综合应用
? x ? ?2 ? 2t ? 1、圆 C 的极坐标方程为 ? =4cos ? ,圆心到直线 ? 的距离为? ? y ? 3 ? 2t ?

? x ? 2t 2、直线 l 的参数方程为 ? ,圆 C 的极坐标方程为 ? =2 2 sin ? ,则直线 ? y ? 1 ? 4t
与圆的位置关系?

? x ? 1 ? 2 cos? 3、 已知圆的参数方程为 ? ,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? =2,, 则直 ? y ? 2 sin ?
线 l 与圆的公共点的直角坐标为

? x ? 3t 4、 曲线 C 的参数方程为 ? , 求过曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程? 2 ? y ? 2t ? 1

7

3 ? ?x ? ? 5 t ? 2 ? 5、曲线 C 的极坐标方程是 ? =2sin ? ,直线 l 的参数方程 ? 设直线与 x ?y ? 4 t ? 5 ?

轴的交点为 M,N 是曲线 C 上的一个动点,求|MN|的最大值

? x ? cos? 6、曲线 C 的参数方程为 ? ,求曲线 C 的极坐标方程 ? y ? 1 ? sin ?

? x ? 2 2 cos? ?x ? 1 ? t ? 7、已知圆 O 的方程为 ? ,则圆 O 上的点到直线 ? 的距离的最 ? y ? 2 2 sin ? ?y ? 1? t ?

大值为?

三、知识总结
1、极坐标 2、参数方程

8

作业
1、在极坐标系(ρ ,θ ) ≤ θ <2π )中,曲线 ρ = 2sin ? 与 p cos ? ? ?1 的 (0 交点的极坐标为______. 2、极坐标方程分别为 ? ? 2 cos? 和 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为____________

? 3、 把极坐标方程 ? cos(? ? ) ? 1 化为直角坐标方程是 6



? ?? 4、已知点 M 的极坐标为 ? 5, ? ,下列所给出的四个坐标中能表示点 M 的坐标是 ? 3?



) 。
? A. ?5,? ? ? ?
? 3? 4? B. ?5, ? ? ? ? 3? 2? C. ?5,? ? ? ? ? 3?

5? ? ? D. ? 5, ? ? 3 ? ?

? x ? 2 cos? 5、直线:3x-4y-9=0 与圆: ? ,(θ 为参数)的位置关系是( ? y ? 2 sin ?
A.相切 B.相离 C.直线过圆心

)

D.相交但直线不过圆心

? x ? 3t 2 ? 2 6、曲线的参数方程为 ? (t 是参数),则曲线是( y ? t 2 ?1 ?
A、线段 B、双曲线的一支 C、圆 D、射线



7、极坐标方程 ? sin 2 ? ? 2 ? cos? ? 0 表示的曲线是_______

_____。

8、在极坐标中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ? ? 4 cos? 于 A、B 两 点.则|AB|= .

? x ? 3 cos? ??为参数, ? ? ? ? ? 上一点 P,原点为 O,直线 PO 的倾 0 9、已知过曲线 ? ? y ? 4 sin ?
斜角为

? ,则 P 点坐标是 4

. .

? x ? 3 ? t sin 200 10、直线 ? (t 为参数)的倾斜角是 0 ? y ? ?1 ? t cos 20

11、在圆 x2+2x+y2=0,求它到直线 2x+3y-5=0 的最大距离

9

12、P 在椭圆 4x2+9y2=36 上,求它到直线 x+2y+18=0 的最短距离

10


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