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更高更妙的物理竞赛ppt课件竞赛课件7:曲线运动曲直谈


一、曲线运动的发生条件
合外力方向与速度方向不在一直线

切向力改变速度大小

法向力改变速度方向
二、曲线运动的特点
速度方向一定变化

Ft

v

F

Fn

三、求解曲线运动问题的运动学基本方法
矢量的合成与分解 微元法

? 曲线运动的加速度
质点的瞬时加速度定义为 a ? lim
为求一般的做曲线运动质点在任一 点的瞬时加速度,通常将其分解为 法向加速度an与切向加速度at. ?vt ?vn a t ? lim a n ? lim ?t? 0 ? t ?t? 0 ? t
?t? 0

?v ?t
B
?
?vn

A

vB

?v

?vt

A点曲率圆半径 A点曲率圆

O

?vn AB

a A? ? lim ? n ?
? t ? t0 ?

vA

?vn

vA ? AB

? ? ?t
vA ?B ?A
?t? 0

a t ? lim

?vt
2

?t? 0

?t

? lim

? ? ?t

an ?

v

a

?

在离水面高度为h的岸边,有人用绳子拉船靠岸,若人收绳 的速率恒为v0,试求船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少?

专题7-例1

船及与船相系的绳端A的实际运动 v0 ? 是水平向左的,这可看作是绳之A vn 端一方面沿绳方向向“前方”滑 h A 轮处“收短”,同时以滑轮为圆 v ? 心转动而成,即将实际速度v分解 s vt 成沿绳方向“收短”的分速度vn和 垂直于绳方向的转动分速度vt; 注意到绳子是不可伸长的,人收绳的速 vn ? v0 率v0也就是绳端A点沿绳方向移动速率vn: 由图示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得: h v t ? v0 cot ? ? v0 2 2 s h ? s v0 ? v0 则v ? 续解 sin ? s

求船的速度 依据实际运动效果分解船的运动:

在一小段时间Δt内,船头位置 从A移A′,绳绕滑轮转过一小 角度Δθ→0: v
v? ?
0

求船的加速度

读题
?
??

? 1 ? v ? v0 ? ? s in ? ? ? ? ? ?

s in ? ? ? ? ?

?

? ? ? s in ? ? ? 1
? ? ? vt

?

v0
v t?
v?
h ? ?? v0 cos ?
? ? ??

v0 vt ? A? v
h cos ?

A
? ??

由加速度定义得: 由几何关系得: ? h ?v ? ?? ? a ? lim cos ? ?t ? ? ?t? 0 ? t
? 1 1 v0 ? ? ? s in ? ? ? ? ? ? s in ? ? 则 a ? lim h ? ?? ?? ? 0 ta n ? v0 cos ? ? ? ? ?

?

ta n ?

? lim

v 0 co s ?
2

?? ? 0

h ta n ?
2 v0

?

sin ? ? sin ? ? ? ? ?

?
2 2 v0 h

? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? sin ?
2 v0 3

?? ? cos ? ? ? 2 v0 cos ? 2 ? ? lim ? ? ? 0 h ta n ? ? ? ? s in ? ? ? 2

?? ? ? s in ? 2 ? ??

? ? s in ?

? h? ?? ? ? cot ? ? h ? s ? h
3

?

s

3

如图所示,质点从O点由静止开始沿半径为R的圆周做速率 均匀增大的运动,到达A点时质点的加速度与速度方向夹角为α,质点通过的弧s 所对的圆心角为β,试确定α与β间的关系.

专题7-例2

质点沿圆周做速度大小、方向均变化 的运动.每个瞬时的加速度均可分解为 切向加速度at与法向加速度an,前者反映 质点速率变化快慢,后者反映质点速度 2 方向变化快慢. 2 s vA , an ? 由题给条件 a t ? 而 v2 ? A
则 an ?

O

s

β
?

A a

at vA

an

? at t ?
?
R

2

t

2

R

, s ? R?
an at ? at t R
2

2 2 at t

?

2 st
2

2

t R

? 2?



an at

? ta n ?

tan ? ? 2 ?

如图所示,质点沿一圆周运动,过M点时速度大小为v, 作加速度矢量与圆相交成弦MA=l,试求此加速度的大小.

将M点加速度沿切向与法向进行分解!

M
? ? l

v at A

法向加速度
a n ? a sin ? ? a ? v
2

v

2

O

R

a an

R sin ?
而 sin ? = l 2R

a ?

2v l

2

如图所示,曲柄OA长40 cm,以等角速度ω=0.5rad/s绕O 轴反时针方向转动.由于曲柄的A端推动水平板B而使滑杆C沿竖直 方向上升,求当曲柄与水平线夹角θ=30°时,滑杆C的加速度.

杆上A点加速度

aA ? l ??
1 2 l ??
2

2

B ω aA O θ θ A aC aAy

C

a A y ? a A sin ? ?

杆A与B板接触点有相同沿竖直方向的加速度 !

此即滑杆C的加速度 a C ? a A y

代入数据得滑杆C的加速度 a B

? 0 .0 5 m /s

2

有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑,一猎 犬以不变的速率v2追击,其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F 处,猎犬在D处,FD⊥AB,且FD=L,如图.试求此时猎犬的加速 度的大小. Fv ? ? t 1 v 1 B 设Δt时间内,v2方向变化Δθ, Δθ→0时:A

ta n ? ? ? ?v ?t

v1 ? ? t L

? ??

v L ?? 2
A?

D

B?

由加速度定义,猎犬 加速度

v2

?v
??

a ? lim

?t? 0

? lim

v2 ? ?? ?t

v2

?t? 0

a ?

v1v 2 L

赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶,在0.1 s内 速度由10.0m/s加大到10.5 m/s,那么该赛车在半径为30 m的环形公路段行驶中, 要达到同样大的速度需要多少时间?当环形公路段的半径为多少时,赛车的速度 就不可能增大到超过10 m/s?(公路的路面是水平的)

直线加速时车的加速度 :

a0 ?

vt ? v0

? 5 m /s

2

在环形公路上,法向加速度 切向加速度 代入数据
1 0 .5 900
4

an ?

vt

2

t0

at ?
? 0 .2 5 t
2

R vt ? v0
t

an ? at ? a0
2 2

2

? 25

t ? 0 .1 5

? a0 当轨道半径令法向加速度大小等于a0: Rm 无切向加速度,赛车速率不会增加

v0

2

R

? 20 m

质点沿半径为R的圆周运动,初速度的大小为 v0.在运动过程中,点的切向加速度与法向加速度大小恒相等,求经 时间T质点的速度v. 设速率从v0增加,取运动过程中第i个极短时间Δt,由题意有
? ti ? 0

本题用微元法
v i ? v i?1 ? ti
i

lim

?
?
i?1 n

vi

2



T ? lim

? ti ? 0

? ?t

? R lim

vi ? vi?1 vi
2

R

n? ?

? R lim

n? ?

?
i?1

n

vi ? vi?1 vi?1vi

? R lim

n? ?

?
i?1

n

? 1 1 1 1 1 1? ? 1 1 ? ? R? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? v1 v1 v2 vn?1 v ? ? v0 vi?1 vi ? ?

? 1 1? ? R? ? ? v ? ? v0

若速率从v0减小, 有

v ?

R v0 R ? v 0T

v ?

Rv0 R ? v 0T

如图所示,圆盘半径为R,以角速度ω绕盘心O转动,一质 点沿径向槽以恒定速度u自盘心向外运动,试求质点的加速度.

专题7-例3

本题讨论中介参考系以ω匀速转动时,质点加速度的构成 质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起 ? 转动两者之合运动. uA 设某一瞬时质点沿槽运动到与O相距r的位置A 经Δt时间,质点沿槽运动到与盘心O相距r+uΔt 的 O ′ 位置B ,盘转过了角度ωΔt,故质点实际应在位置B 在Δt时间内,质点沿y方向速度增量为 ? v y ? ? u c o s ? ? t ? ? ? r ? u ? t ? s in ? ? t ? ? u y ? ? B 在Δt时间内,质点沿x方向速度增量为
? v x ? ? u sin ? ? t ? ? ?

? r ? u ? t ? cos ? ? t ? ? ? r ? 注意到Δt→0时 co s ? ? t ? 1 sin ? ? t ? ? ? t 2 ? ?t ? ? 0

u A
??t

B?

?

?r

? u ? ?t ?

ωr

O

续解 x

a A y ? lim

?v y ?t

?t? 0

? lim

?u ? ? ?

?r

? u?t ? ? ?t ? ? u ? ?t

读题

?t? 0

? ?? r
2

牵连加速度
? 2? u
?1

a A x ? lim

?vx ?t

?t? 0

? lim
2

? ? r ? u ? t ? ? u? ? t ? ? r
?t
2

?t? 0

aA ? ?

?? r ?

? 4u

方向与x成

? ? ta n
y

?r
2u

相对中介参考系的加速度 a 相 对 牵连加速度
a牵 连 ? ? r
2

?

a 科 ? 2? u
由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而 产生的,方向指向u沿ω方向转过90°的方向

A
? r
2

?

2? u

aA

O

x 试手 返回

如图所示,一等腰直角三角形OAB在其自身平面内 以等角速度ω绕顶点O转动,某一点M以等相对速度沿AB边运动,当 三角形转了一周时,M点走过了AB,如已知AB=b,试求M点在A时 的速度与加速度.

引入中介参照系-三角形OAB b? 质点对轴O的速度(相对速度) v M A ? 2? 三角形A点对轴的速度(牵连速度) A ? ? ? v
质点对轴O的速度(绝对速度)vM ? ? 三速度关系为 ?
vM ?
?

求质点的速度

2b

AM
?

vM ? v A ? vMA
2 2 2

?
O ω

vA
?

vMA
45

2b ?
2

2

?

b ? 4?

? 2?

2 b? ?

b? 2?

B

cos 45?

vM

b? 2?

8?

2

? 4? ? 1

方向与AB夹角?

? ta n

?1

2? 2? ? 1

续解

求质点的加速度

规律

a M ? a MA ? a A ? a科
相对中介参考系的加速度 a M A ? 0
牵连加速度
aA ? ?
2

a科 aM
ω
?

AM

2b

aA
O B

a 科 ? 2? ?
aM ?

b? 2?

??
2

2

2b

?

2

b? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2 ? 2? ? ?

2

?

2

b? ? ? 2 b ? 2? ? ? cos 45? 2? ? ?

?

?

? b ?

2?

2

? 2? ? 1

方向与AO夹角 ?

? ta n

?1

1 2? ? 1

? 曲线运动轨迹的曲率
曲线的弯曲程度用曲率描述
曲线上某点的曲率定义为
K ? lim
圆周上各点曲率相同:

?? ?s
? 1 R

?s

?

?t? 0

K ?

??

R

?

?

R ? ??

曲线上各点对应的半径为该点 曲率倒数1/K的圆称为曲率圆,该 圆圆心称曲线该点的曲率中心!

用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径, 已知长半轴与短半轴为a和b.

专题7-例4

设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率v运动,这个运动在M1平 面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆,则两平面间夹角

? ? cos

?1

b
v M A v aA aB

对椭圆长轴端的A点: a v 2
aA ?

对A点投影A1点: a A 1 ?

?A 2 v

a b b 2 又 a A1 ? a A cos ? ? ?aA v a aB ? 椭圆短轴端B点的曲率半径由 ?B

?A ?

b

2

Bv A1 aA1 aB M1 ? B1 2 ? v cos ? ? ? b

?B ?

a

2

b

专题7-例5

用运动分解法求抛物线上某点的曲率半径. y 平抛规 设质点以速度v0做平抛运动 2


? x ? v0 t ? 在 ? 中 消去t得 1 2 gt ?y ? ? 2

s

2

? 2

2 v0

y

? 2 px

h

p

P

g

y

2

? 2 p x

O
2

p 2

x

对轨迹上的P点: 式中 v
2

g cos ? ?
? ?
g?

v

?

2 v0

? 2 gh
v0
2 v0

?
2 v0

? 2 gh v0

O
P
?
2 ? v2 v0 0 , ? ? g 2g ?

s

cos ? ?

? 2 gh
? 2? vp ? 1 ? 0 ? 1 ? ? g g

?

v0

? ? ? ?

?

?

2 v0

? 2 gh gv0

?

3 2

? ?

2g ? ?2 2xh 2 ? 2? ? v0 ? ? p

3

3

v0 ? 2 gh

2

抛物线上 x=p/2点

g
h

v

vh ?

2 gh

?P ? 2 2 p

试手

旋转半径为r、螺距为h的等距螺旋线,曲率半径处 处相同.试用运动学方法求解曲率半径ρ值. 设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时以 vh沿垂直于v0方向做匀速直线运动,每前 进一个螺距,完成一次圆周,即有 2? r h ? v0 vh 设螺旋线上任一点的曲率半径为ρ

vh v0

则 an ?
v0 ? vh
2 2

v0 r

2

?

v0 ? vh
2

2

h r

?
2

? ?

v0

2

? ? h r ? ?1? r 2 2 ? 4? r ? ?

返回

受恒力作用 力与初速度垂直 轨迹为半支抛物线 匀变速曲线运动 水平方向匀速运动与竖直 方向自由落体运动的合成
◎物体在时刻t的位置
s ? v0 t h ? 1 2
2

?s

v0

s
v0 vh

x

?v

v

gt

2

h

x ?

? v0t ?

? 1 2 ? ?1 gt ? ? g t ? , 方 向 与 s 成 ? s ? ta n 2v0 ? 2 ?

2

◎物体在时刻t的速度
v s ? v0 v ? v0 ?
2

vh ? gt

?

g t ? , 方 向 与 v 0 成 ? v ? ta n
2

?1

gt v0

沿斜面方向的匀加速运动与垂 直斜面方向的上抛运动之合成! 空中飞行时间
t ? 2 v 0 s in ? g cos ?
? 2 v 0 ta n ? g
g

y

v0
H

x

?

距斜面最大高度
H ? v 0 s in ?
2 2

2 g cos ?

平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同!

如图所示,小冰球从高为H的光滑坡顶由静止开始 下滑,这个坡的末端形如水平跳板.当跳板高h为何值时,冰球飞过 的距离s最远?它等于多少? 物体从坡末端B水平飞出后做平抛运动:
S ? 2g ? H ? h? ? 2h g ? 2

A H

?H

? h ? .h

B
h

由基本不等式性质
当 H ? h ? h, h ? H 2 时

S m ax ? H

两个质点以加速度g在均匀重力场中运动.开始时 两个质点位于同一点,且其中一个质点具有水平速度v1=3.0 m/s; 另一个质点水平速度v2=4.0 m/s,方向与前者相反.求当两个质点 的速度矢量相互垂直时,它们之间的距离.

当两质点速度互相垂直时, v1 速度矢量关系如图示:

?

?

v2

由矢量图得
v 1 ta n ? ? v 2 c o t ? ? ta n ? ? 2 3

vy v1t

v2t

vy

而 v y ? v 1 ta n ? ? 2 3 m / s

t ?

v 1 ta n ? g

? 0 .2
? 7 5 3

3 s

则 S ? ? v1 ? v 2 ? t

m

如图,一仓库高25 m,宽40 m.今在仓库前l m、 高5 m的A处抛一石块,使石块抛过屋顶,问距离l为多大时,初速度 v0之值最小?(g取10 m/s2)

过B点时速度方向与水 平成45°时,可以最 小的vB越过40m仓库顶 ! h
由S ?

vB
v0 B 4 5 ? A ? l S

H

?v
2

B

cos 45

?

??

2 v B s in 4 5 g
2

?

vB ?

gS

从A到B竖直方向分运动有

? v 0 sin ? ?

? ? v B sin 4 5 ? ? ? 2 g ? H ? h ?
l ? 20
?

从A到B水平方向分运动有
l ? v B cos 45 ?
?

?

3 ?1 m

?

v 0 sin ? ? v B sin 4 5 g

? 1 4 .6 m

木排停泊在河上,到岸的距离L=60 m.流水速度 同离岸的距离成比例地增大,在岸边u0=0,而在木排边流速uL=2 m/s.小汽船离开岸驶向木排.船对水的速度v=7.2 km/h.问驾驶员 在起航前应该使船指向何方,使以后无须校正船速就能靠上与起航 处正对面的木排?这时船航行多少时间? 流水速度为 u ? k x v x uLV 船的合速度为 V ? u ? v
在岸边船的合速度大小 V0=v
L

方向如示 !
L 2 ? 1m / s = v 2

uL ? kL ? 2m/s
通过L的时间
L

u中 ? k

v

u中
30
?

V

中间时刻船合速度沿x方向,航线如 示
t ? v cos ? ? 60 2 cos 30
?

V0=v

? 20

3 s

?

? 30

?



如图所示,一个完全弹性小球自由下落,经5m碰到 斜面上的A点.同时斜面正以V=10m/s在水平面上做匀速运动,斜 面与水平面的倾角为45°.问在离A点多远处,小球将与斜面发生第 二次碰撞?

球以v=10 m/s入射,与斜面的接近速度
v球 ? ? =10 2 m/s
A V
? v球 ? ?

球与斜面的分离速度
? v球 ? ? =10 2 m/s
v
45
?

球从与斜面分离到再次碰撞历时
t ? 2 ? v球 ? ? g cos 45
?

=

20 5

2 2

v球 ? ?
g

s ? 4s

注意到球沿斜面体方向初速度为零,加速度gsin45° 1 2 A A ? ? ? g sin 4 5 ? ? ? t ? 4 0 2 m 球再与斜面碰撞处距A
2

如图所示,一人站在一平滑的山坡上,山坡与水平面成角度 α.他与水平成θ仰角扔出的石子落在斜坡上距离为L,求其抛出时初速度v0及以此 大小初速度抛出的石子在斜坡上可以达到的最大距离.

石子沿山坡方向做匀加速运动
L ? v 0 cos ?? ? ?

?t

?

1

g s in ? ? t

2

y

石子沿垂直山坡方向做匀加速运动 v 0 s in ? ? ? ? ?
t ? 2
2v0
2 2

2

? ?

?

v0

g cos ?
c o s ? ? s in ? ? ? ?

L ?

g ? cos ?

?

g

L

x

?



v0 ?

gL 2 c o s ? s in ? ? ? ?

设抛出石子的仰角为β L ? ?? ?
当 2? ? ? ?

?

cos ?
2v0
2 2

?
2

g ? cos ? 2 2 v0 v0 ? s in ??2 ? ? in ? ? s in ? ? ? m ax ? 2 L 1? s ? ? ? ?2 ? g ? c o s ?? o s ? g c

c o s ? ? s in ? ? ? ?

?

小球以恒定速度v沿水平面运动,在A点坠落于半径为r和深为 H的竖直圆柱形井中.小球速度v与过A点井的直径成α,俯视如图.问v、H、r、 α之间关系如何,才能使小球与井壁和井底弹性碰撞后,能够从井里“跳出来” (不计摩擦)

小球在水平方向以v匀速运动,碰壁“反射” 小球在竖直方向做自由下 v 落或碰底上抛至速度为零
小球运动轨迹的俯视图如示 小球两次与壁相碰点间水平射程为 2 r c o s ?
历时
t1 ? 2 r cos ? v

r

?

A

从进入至与底碰撞历时 t 2 ?

2H g

为使小球与井壁和井底弹性碰撞后,能够从井里“跳出来”

n t1 ? 2 k t 2
r cos ? v ? k

即 n

2H g

(n、k均为正整数)

如图,一位网球运动员用拍朝水平方向击球,第一只球落在 自己一方场地上后弹跳起来刚好擦网而过,落在对方场地A处.第二只球直接擦 网而过,也落在A处.球与地面的碰撞是完全弹性的,且空气阻力不计,试求运 动员击球高度为网高的多少倍?

设C点高度为h,由题意球1运动时间为 O
t1 ? 3 2H g 2H g
? v 2 ? 3v1
2H g ? 2? H ? h? ? ? g ? ?
x

C

H B A

由题意球2运动时间为 t 2 ? ∵水平射程相同
x ? v2

v1 v2

?

t2 t2

2? H ? h? g

? ? v1 ? 2 ? ?

2

H ?h ?

H

h ?

3H 4

初速度为v0 的炮弹向空中射击,不考虑空气 阻力,试求出空间安全区域的边界的方程.
这个问题可抽象为一个求射出炮弹在空中可能轨 迹的包络线方程问题,包络线以外即为安全区域.
如图,在空间三维坐标中,设初速度方向与xy平面成θ z 角,由抛体运动规律可建立时间t的三个参数方程

x ? vxt y ? v yt

且x

2

? y

2

? ? v 0 co s ?

?

2

2 t vz

z ? v 0 sin ? ? t ?
z ? x
2

1 2

gt
1 2

2

v0 O

? y

2

? ta n ? ?

g

x
2

2

? y
2

2

?

vx x

vy y

v0 cos ?
2

?

x

2

? y

2

? ta n ? ?

1 2

g

x

? y
2 v0

2

?

1 2

g

x

2

? y
2 v0

2

ta n ?
2

续解



g?x ? y
2

2

?

2v0

2

ta n ? ?
2

x ? y ? ta n ? ?
2 2

g?x ? y
2

2

?

读题
? z ? 0

2v0

2

这是发射角θ各不相同的炮弹的空间轨迹方程
此方程式有解时,必满足
? g ? x2 ? y2 ? ? ? 2 2 ? ? x ? y ? 4? ?? ? z? ? 0 2 2 2v0 2v0 ? ? ? 2 ? 2 包络线方程为 ? 2g ? g ? x ? y ? 1? 2 ?? ? z? ? 0 2 v0 ? 2v0 ? ? ?
2 2

g?x ? y

整理该包络线方程为所求安全区域的边界方程
x ? y ?
2 2

2v0 g

2

z?

v0 g

4 2

? 0

这里我们运用了曲线簇的包络线的数学模 型处理了一个有实际应用背景的物理问题

机车以等速率v0沿直线轨道行驶.机车车轮半径为r.如车轮 只滚动不滑动,将轮缘上的点M在轨道上的起点位置取为坐标原点,并将轨道取 为x轴,如图所示,求M点的运动轨迹方程以及轨迹的曲率半径,并求当M点所在 的车轮直径在水平位置时,该点的速度与加速度. y y

与轮心相同的匀速运动 对轮心的匀速圆周运动

M点的两个分运动——

2r
O
v0 r

M A
t

x

求轨迹方程:

? v0 ? x ? v 0 t ? r ? s in ? t? ? r ? ? v0 ? y ? r ? r cos ? t? ? r ? M点的轨迹方程为
2 2

O

v0 t

x
v 0T

? v0 ? r ? s in ? t ? ? v0t ? x ? r ?
? v0 ? r cos ? t? ? r ? y ? r ?
2 2

2 ? ? ?1 r ? y r ? ? r cos ? x ? ? ?r ? y? r 2 ? ?

r ? ? v 0 t ? x ? ? ? r ? y ? 续解

求轨迹的曲率半径ρ:
M点速度矢量与加速度矢量关系如示

读题
v0
?

v0

M点加速度即

aM ?

2 v0

M at
v
2

vM aM
?

法向分量

an ?

v

2 M

?

?

r 2 v0

? s in

?
2

?

r

而 v M ? 2 v 0 s in

?
2
2

? ?

? ? ? ? 2 v 0 s in ? 2 ? ?
2 v0

? s in

?
2

r ? 4 r s in

?
2
续解

求当M点所在的车轮直径在水平位置时, 该点的速度与加速度:
vM ? v0 s in 4 5
?

v0 M

v0

vM aM
at 90 ?

?

2v0
2 v0

v

2

方向与x轴成45°

?

a ?

r

方向+x



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