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江苏省宿迁市马陵中学2015-2016高二上学期期中考试数学试题


2015-2016 学年度第一学期马陵中学期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题: (每小题 5 分,共 14 题,计 70 分) 1. 命题:“ $ x > 0, x 2 + x - 1 > 0 ”的否定是__ ▲ ▲ _____. _____.

2. f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是__

>2

3. 若命题 “? x∈R, 使得 x +(a-1)x+1<0” 是真命题, 则实数 a 的取值范围是__▲______. 4.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y =8x 上横坐标为 2 的点到其焦点的距离为_▲_____. 5. mn > 0是
2

x2 y2 + = 1 表示椭圆的 ▲ m n

条件. (填充分不必要、必要不充分、充要条

件、既不充分也不必要) 6.设 x ? R ,则“ x ? 2 ? 1 ”是“ x 2 ? x ? 2 ? 0 ”的 必要不充分、充要条件、既不充分也不必要) 7.下列说法:①命题“存在 x∈R,x +x+2 015>0”的否定是“任意 x∈R,x +x+2 015 1 <0” ;②两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件;③命题“函数 f(x)= 在其定
2 2



条件. (填充分不必要、

x

义域上是减函数”是真命题;④给定命题 p,q,若“p∧q”是真命题,则非 p 是假命题.其 中正确的是_ ▲_(填序号). 8.直线 y ? 3x ? 1 是函数 f ( x) ? ax 的图象上的点P处的切线,则 a 的值是__▲______.
3

9.若

x2 y2 ? ? 1 ,点 P( x, y) 到点 (?3,0) 的距离为 3 2 ,则点 P 到点 (3,0) 的距离为▲. 2 7
x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F1F2 为直径的圆与椭 a 2 b2

10.已知椭圆

圆在第一象限的交点为 P.若∠PF1F2=30°,则该椭圆的离心率为__ ▲______. → → y2 2 11.已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则PA1·PF2的 3 最小值为___ ▲_____. 12.若函数 f ( x ) ? ▲_____.

4x 在区间 ( m , 2m ? 1) 上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围是___ x2 ? 1

x2 y2 2 13.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x =2py(p>0)的焦 a b
点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且 FA=c,则双曲线的渐近线方程为_ ▲_______.

14.设函数 f ( x ) ? x ? x ? 1? ,记 f ( x ) 在 ? 0, a ? 上的最大值为 F ( a ) ,则函数 G (a ) ?
2

F (a) 的 a

最小值为____▲______. 二、解答题: 15. (本题 14 分)已知 p : 实数 x 满足 x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 , 其中 a ? 0 ;q : 实数 x 满足

2< x? 3.
(1) 若 a ? 1, 且 p ? q 为真, 求实数 x 的取值范围; (2) 若 p 是 q 的必要不充分条件, 求实数 a 的取值范围.

16. (本题 14 分)已知函数 f ( x ) ?

ax ? b ( x ? R , a 、 b 为实数) ,且曲线 y ? f ( x) 在点 x2 ?1

1 1 P( , f ( )) 处的切线 l 的方程是 9 x ? 10y ? 33 ? 0 . 3 3
(1)求实数 a , b 的值; (2)现将切线方程改写为 y ? 比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小关系;

3 3 (11 ? 3 x) ,并记 g ( x) ? (11 ? 3 x) ,当 x ? [0,2] 时,试 10 10

→ → → 17. (本题 14 分)已知点 A(-1,0),F(1,0),动点 P 满足AP·AF=2|FP|. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

(2)直线 l 过 F 交曲线 C 于 A、B 两点,若线段 AB 的长为 6,求 l 的方程.

18. (本题 16 分)已知某企业每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为 34 元, 该企业的月总成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其他固定 支出 20 000 元.假设该产品的月销售量 t(x)(件)与销售价格 x(元/件)(x∈N )之间满足如下 关系: ①当 34≤x<60 时,t(x)=-2(x+5) +10 050; ②当 60≤x≤70 时,t(x)=-100x+7 600. 设该企业月利润为 M(元),月利润=月销售总额-月总成本. (1)求 M 关于销售价格 x 的函数关系式; (2)求该企业月利润 M 的最大值及此时产品的销售价格.
2 *

? 3? 19. (本题 16 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点?1, ? ? 2?
的椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0),过焦点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,点 B 关于坐标原点的对称 点为 P,直线 PA,PB 分别交椭圆 C 的右准线 l 于 M,N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 a b

?8 3 3? (2)若点 B 的坐标为? , ?,试求直线 PA 的方程; ?5 5 ?
(3)记 M,N 两点的纵坐标分别为 yM,yN,试问 yM·yN 是否为定值?若是,请求出该定值;若不 是,请说明理由.

20. (本题 16 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? bx 2 ? cx ? d ,设曲线 y ? f ( x) 在与 x 轴交点 3

处的切线为 y ? 4 x ? 12 , y ? f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,满足 f ?(2 ? x) ? f ?( x) . (1)求 f ( x) ; (2)设 g ( x) ? x f ?( x) ,m>0,求函数 g ( x) 在上的最大值; (3)设 h( x) ? ln f ?( x) ,若对于一切 x ? [0,1] ,不等式 h( x ? 1 ? t ) ? h(2 x ? 2) 恒成立, 求实数 t 的取值范围.

2015-2016 学年度第一学期马陵中学期中考试 高二年级数学试卷答案 1. " x > 0, x 2 + x - 1 ? 0 5.必要不充分 11.-2 15. 2. 2 3. - ? , 1 ? 3, ? 8.4 9. 5 2 或 2

(

) (

)

4.4 10. 3 - 1

6 .充分不必要 7.④

12. 13. x ? y

0

14.

1 9

所以实数 x 的取值范围是 2 ? x ? 3 .

?????????7 分

(2) p 是 q 的必要不充分条件,即 q ? p,且 p ? ? q, 设 A= ?x p( x)? , B = ?x q( x)? , 则 A ? ? B, 又 B ? (2,3] ,A= (a,3a) ; ?????????10 分

? a ? 2, 所以有 ? 解得 1 ? a ? 2; ? 3 ? 3a ,
所以实数 a 的取值范围是 1 ? a ? 2 .
/

?????????14 分

a( x 2 ? 1) ? 2 x(ax ? b) a ? ax2 ? 2bx 16. 解: (1) 由 f ( x) ? 及条件 ? ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1) 2
可得 f ( ) ? ?
/

1 3

9 , 10

1 3 x?3 解得 a ? 1, b ? 3 , f ( x ) ? 2 . ??????????????????7 分 x ?1
化得 4a ? 3b ? 5 ? 0 ,又易知 f ( ) ? 3 ,化得 a ? 3b ? 10 ? 0 (2) f ( x) ? g ( x) ?
3

10( x ? 3) ? 3(11? 3x)(x 2 ? 1) 9 x 3 ? 33x 2 ? 19x ? 3 ???10 分 ? 10( x 2 ? 1) 10( x 2 ? 1)
2

记 h( x) ? 9x ? 33x ? 19x ? 3 , x ? [0,2] .

1 h / ( x) ? 27x 2 ? 66x ? 19 ? (3x ? 1)(9x ? 19) , 当 x ? (0, ) 时 , h / ( x) ? 0 , h( x) 递 增 , 3 1 1 x ? ( ,2) 时, h / ( x) ? 0 , h( x) 递减,故当 x ? [0,2] 时, h( x) ? h( ) ? 0 , 3 3

所以当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? g ( x) .??????????????????14 分 17. → → → 解 (1)设 P(x,y),则AP=(x+1,y),FP=(x-1,y),AF=(2,0),┅┅┅ 2 分 → → → 2 2 由AP·AF=2|FP|,得 2(x+1)=2 ?x-1? +y ,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 4 分 化简得 y =4x. 故动点 P 的轨迹 C 的方程为 y =4x. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 7 分 (2)设直线 l 的方程为 y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2). 直线 l 的方程为 y=k(x-1)代入 y =4x,得 k x -(2k +4)x+k =0,┅┅┅┅┅9 分 所以 x 1 + x 2 =
2 2 2 2 2 2 2

2k 2 + 4 ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 10 分 k2

因为 AB= x 1 - 1 + x 2 - 1 = 6 所以 解得 k = ?

(

) (

)

2k 2 + 4 =4┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 k2

2 ,l 的方程为 y = ? 2 ( x 1) ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 14 分
2 *

18.解 (1) 因为月利润=月销售总额-月总成本
?(-2x -20x+10 000)(x-34)-20 000,34≤x≤60,x∈N , ? ∴M(x)=? * ? ?(-100x+7 600)(x-34)-20 000, 60≤x≤70,x∈N . ?-2x +48x +10 680x-360 000,34≤x<60,x∈N , ? 即 M(x)=? 2 * ?-100x +1 1000x-278 400, 60≤x≤70,x∈N . ?
2 3 2 *

┅┅┅┅ 6 分

(2)设 g(u)=(-2u -20u+10 000)(u-34)-20 000,34≤u<60,u∈R, 则 g′(u)=-6(u -16u-1 780). 令 g′(u)=0,解得 u1=8-2 461(舍去),u2=8+2 461∈(50,51).┅┅┅ 9 分 当 34<u<50 时,g′(u)>0,g(u)单调递增; 当 51<u<60 时,g′(u)<0,g(u)单调递减. ∵x∈N ,M(50)=44 000,M(51)=44 226, ∴M(x)的最大值为 44 226. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 13 分 当 60≤x≤70 时,
* 2

M(x)=100(-x2+110x-2 584)-20 000 单调递减,
故此时 M(x)的最大值为 M(60)=21 600. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅15 分 综上所述,当 x=51 时,月利润 M(x)有最大值 44 226 元. ∴该企业月利润最大为 44 226 元,此时产品的销售价格为 51 元/件.┅┅16 分 19. 解 (1)由题意,得

2a=

?3 ?2 2 ?1-1? +? -0? + ?2 ?

?3 ?2 2 ?1+1? +? -0? ?2 ?
x2 y2

=4,即 a=2. 又 c=1,所以 b =3,所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. ┅┅┅┅┅┅┅4 分 4 3 3 3? ? 8 3 3? ? 8 (2)因为 B? , ?,所以 P?- ,- ?. 5 ? ?5 5 ? ? 5 又 F(1,0),所以 kAB= 3, 所以直线 AB 的方程为 y= 3(x-1).┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分
2

x y ? ? 4 + 3 =1, 联立方程组? ? ?y= 3?x-1?,
所以直线 PA 的方程为 y=-

2

2

解得 A(0,- 3).┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 8 分

3 x- 3, 4

即 3x+4y+4 3=0. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 (3)当直线 AB 的斜率 k 不存在时,易得 yMyN=-9. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅ 11 分 当直线 AB 的斜率 k 存在时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 P(-x2,-y2), 所以 + =1, + =1,两式相减, 4 3 4 3 得 ?x2+x1??x2-x1? ?y2+y1??y2-y1? =- , 4 3

x2 y2 1 1

x2 y2 2 2

?y2+y1??y2-y1? 3 3 3 所以 =- =kPAk,所以 kPA=- .所以直线 PA 的方程为 y+y2=- (x ?x2+x1??x2-x1? 4 4k 4k +x2), 3 3?x2+4??x2-1? 所以 yM=- (x2+4)-y2=- -y2. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅14 分 4k 4y2

y2 4y2 因为直线 PB 的方程为 y= x,所以 yN= . x2 x2
2

?x2+4??x2-1? 4y2 所以 yMyN=-3× - .

x2
2

x2

又因为 + =1,所以 4y2=12-3x2, 4 3 ?x2+4??x2-1?+4-x2 所以 yMyN=-3× =-9,
2

x2 y2 2 2

2

x2

所以 yMyN 为定值-9. ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅16 分
2 20. (1) f ?( x) ? x ? 2bx ? c ,

∵ f ?(2 ? x) ? f ?( x) ,∴函数 f ' ( x) 的图象关于直线 x=1 对称,b= -1,?????2 分 ∵曲线 y ? f ( x) 在与 x 轴交点处的切线为 y ? 4 x ? 12 ,∴切点为(3,0) ,

∴?

? f (3) ? 0 1 3 2 ,解得 c=1,d=-3,则 f ( x) ? x ? x ? x ? 3 ???????5 分 3 ? f ?(3) ? 4
y

(2)∵ f ?( x) ? x 2 ? 2bx ? 1 ? ( x ? 1) 2 , ∴ g ( x) ? x | x ? 1 |? ?

?x 2 ? x x ? 1 ???????7 分 2 x ? x x ? 1 ?

1 2 当 0<m≤ 时, g ( x) max ? g (m) ? m ? m 2


O

1 1?

2

x

2

1 1 1 1? 2 <m≤ 时, g ( x) max ? g ( ) ? , 2 2 4 2
1? 2 时, g ( x) max ? g (m) ? m 2 ? m , 2

x= 1 2

当 m>

1 ? 2 (0 ? m ? ) ?m ? m 2 ? 综上 1 1 ? 2 ?????????????????10 分 ? 1 g ( x) max ? ? ( ?m? ) 2 2 ? 4 1? 2 ?m 2 ? m (m ? ) ? 2 ?

(3) h( x) ? 2 ln | x ? 1 | , h( x ? 1 ? t ) ? 2 ln | x ? t | , h(2 x ? 2) ? 2 ln | 2 x ? 1 | , 当 x ? [0,1] 时,|2x+1|=2x+1,所以不等式等价于 0 ?| x ? t |? 2 x ? 1恒成立, 解得 ? x ? 1 ? t ? 3x ? 1 ,且 x≠t,??????????????13 分 由 x ? [0,1] ,得 ? x ? 1 ? [?2,?1] , 3x ? 1 ? [1,4] ,所以 ? 1 ? t ? 1 , 又 x≠t,∵ t ? [0,1] ,∴所求的实数 t 的的取值范围是 ? 1 ? t ? 0 .???????16 分


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