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三角函数平面向量专题测试 2


高一数学重点培优班暑期阶段性检测
一.选择题(12 题每题 5 分)
1.若
| sin x | cos x | tan x | + + =-1,则角 x 一定不是 sin x | cos x | tan x

( )

A.第四象限角 C.第二象限角 2.如果

B.第三象限角 D.第一象

限角 ( )

π π <θ < ,那么下列各式中正确的是 4 2

A. cos? ? tan ? ? sin ? C. tan ? ? sin ? ? cos ? A.第一象限

B. sin ? ? cos ? ? tan ? D. cos? ? sin ? ? tan ? ( ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则 P( cos B ? sin A , sin B ? cos A )在

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 2 4.已知直线 x ? y ? a 与圆 x ? y ? 4 交于 A, B 两点,且 | OA ? OB |?| OA ? OB | (其中 O 为坐标原点) ,
则实数 a 的值是 A.2 B.-2 C.2 或-2 D. 6 或 ? 6 ( )

5.定义在R上的偶函数 f ( x) 满足:对任意的 x1 , x2 ? [0, ??)( x1 ? x2 ) ,有 (A) f (3) ? f (?2) ? f (1) (C) f (?2) ? f (1) ? f (3) (B) f (1) ? f (?2) ? f (3) (D) f (3) ? f (1) ? f (?2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 ( x2 ? x1



1 6.已知定义在R上的奇函数 f ( x)在区间(0,??)上单调递增, 若f ( ) ? 0, ?ABC 的内角A满足 f (cos A) ? 0 ,则 2 角A的取值范围为 ( )
A. ? 2 ? , ? ? ?
?3 ? ?

B. [

? ?

, ] 3 2

C [? , ? ] ? ? 2 ? , ? ? ? ?3 3 2 ? ?

D. [

? 2?
3 , 3

]

7.已知 a

? (k ,1), b ? (2,3), 若a ? b, 则k 的值为
B. ?

( D.5



A.—5 8.若 ( )

3 2

C.

3 2

1 2

sin 2?

? 1, 且 sin ? ? 0, 则? 是
B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角





A.第一象限角

9.平面向量 a与b的夹角为 120? , a ? (2, 0),| b |? 1, 则 | a ? 2b | = A. 3 B.2 C .3 D.4

? ?

?

?

?

?





1

10.若函数 f ( x) ? cos 2 x ? 1 的图像按向量 a 平移后,得到的图像关于原点对称,则向量 a 可以是 ( A. (1,0) B. ( )

?
2

,?1)

C. (

?
4

,?1)

D. (

?
4

,1)
( )

11.函数 f ( x) ? ( ) x ? sin x 在区间[0, 2? ]上的零点个数为 A.1 个 B.2 个 C .3 个 D.4 个 (

1 2

12.设 f ( x) ? lg x , 若 0<a<b<c,且 f(a)>f(b)>f(c),则下列结论中正确的是 A (a-1)(c-1)>0 B ac>1 C ac=1 D ac>1



二.填空题(4 题每题 5 分)
3sin ? 2sin cos ? cos 1 2 2 2 2 的值为 13.已知 ? ? x ? 0 , sin x ? cos x ? ,则 2 5 tan x ? cot x
2

?

x

x

x

2

x



14.不等式 log 2

x?2 ? 1的解集为______________. x


?x ? ?sin( )( ?1 ? x ? 0) , 则 f (1) = 15.函数 f ( x) ? ? 3 ? ? f ( x ? 1)( x ? 0)
16.函数 f ( x) ? A cos(wx ? ? )( A ? 0, w ? 0) 的部分图象

2 如图所示,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2010 ) 的 值为 。 0 —2 2 4

6

x

2

高一数学重点培优班暑期阶段性检测答题卷
成绩_____ 一.选择题 题号 答案 二.填空题 13.___________ 14___________ 15____________ 16_____________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 姓名_________

三.解答题
17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?

) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ? a(a ? R, a为常数). 6 6

?

(1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调递增区间; (3)若 x ? ?0,

? ?? 时, f ( x) 的最小值为– 2 ,求 a 的值 ? 2? ?

18.(本小题满分12分)

? mx ? 4 x ? m ? 4 . (1)若对一切实数 x ,不等式恒成立,求实数 m 的取值范围; (2)若对于 0 ≤ m ≤ 4 的所有实数 m ,不等式恒成立,求实数 x 的取值范围
已知不等式 x
2

3

19. (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a) | x ? a | .

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; f ( x) 的最小值;

? ? 20 设函数 f ? x ? ? a ? b ? c ,其中向量 a ? ? sin x, ? cos x ? , b ? ? sin x, ?3cos x ? ,

? c ? ? ? cos x,sin x ? , x ? R .

?

?

?

?

?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小 ? 的d .

?

4

y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 , 21.已知向量 a ? (2cos α,2 sin α),b = (? sin α, cos α),x ? a ? (t ? 3)b,
2

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式; (2)若 t ?[?1 , 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值

22 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 定 义 在 区 间 [-1,1] 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f (? x) ? ? f ( x), 且 f (1) ? 1. 若

a, b ?[?1,1] , a ? b ? 0 时,

f (a) ? f (b) ?0. a?b

(1)判断函数 f ( x) 在[-1,1]上的单调性,并证明你的结论; (2)解不等式 f ( x ? ) ? f (
2

1 2

1 ); x ?1

(3)若 f ( x) ? m ? 2am ? 1 对所有 x ?[?1,1] , a ?[?1,1] 恒成立,求实数 m 的取值范围.

5

光山二高 2010 届高三二轮复习专题检测《三角函数平面向量》
一.选择题 题号 答案 二.填空题 13.
? 15 14 4

1 D

2 D

3 D

4 C 15

5 D
3 2

6 C

7 B 16

8 C
2? 2

9 B

10 C

11 B

12 A

?? 2,0?
?

?

17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ? a(a ? R, a为常数). 6 6

?

(1)求函数的最小正周期; (2)求函数的单调递增区间; (3)若 x ? ?0,

? ?? 时, f ( x) 的最小值为– 2 ,求 a 的值 ? 2? ?

解: (1) f ( x) ? 2sin(2 x ? (2) 当 2k? ?

?
6

)?a

? f ( x)的最小正周期T ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

即 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

2? ?? 2

(k ? Z )时,

函数 f ( x) 单调递增, 故所求区间为 ?k? ? , k? ? ? (k ? Z ) 3 6? ? (3) x ? [0,

?

?

??

?
2

]时 , 2 x ?

?

? 7? ? ? ? ? [ , ] ? x ? 时, f ( x) 取最小值 ? 2sin(2 ? ? ) ? a ? ?2,? a ? ?1 6 6 6 2 2 6

18. (本小题满分12分)

已知△ABC的三内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c,设向量 m ? (a ? c, a ? b)

??

?? ? ? n ? (a ? b, c) , 且m / / n
(1)求∠B; (2)若 a ? 1, b ?

3 , 求? ABC的面积。

解: (1)? m ? (a ? c, a ? b), n ? (a ? b, c)且m // n

? (a ? c)c ? (a ? b)( a ? b) ? 0,? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac
2 2 2 由余弦定理得: cos B ? a ? c ? b ? 1 又? 0 ? B ? ?

2ac

2

?B ?

?
3

a b ? a ? 1, b ? 3,由 正 弦 定 理 得 : ? s in A s in B 1 1 3 ? s i nA ? ? a ? b ? A ? B ? ? 2 sin A sin ?
3

?A?

?
6

? c ? ? ? ( A ? B) ? ? ? (

?

? )? 3 6 2

?

?

…………10 分

? S ?ABC ?

1 1 3 ab ? ? 1 ? 3 ? 2 2 2

…………12 分
6

19. (本小题满分 12 分) 如图, 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的两个顶点 A, B 及 CD 的中点 P 处. AB=20km, BC=10km. 为 了处理这三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界)且与 A,B 等距的一点 O 处,建造一个污水处理 厂,并铺设三条排污管道 AO,BO,PO.记铺设管道的总长度为 yk m (1)设 ?BAO ? ? (rad) ,将 y 表示成 ? 的函数; (2)请确定污水处理厂的位置,使铺设的污水管道的总长度最短。 解。Ⅰ)由条件知 PQ 垂直平分 AB,若∠BAO= ? (rad) ,则 OA ? AQ ? 10 , cos ? cos ? A 10 故 OB ? ,又 OP= 10 ?10 tan ? , cos ? D P O B C

10 10 ? ? 10 ? 10 tan ? , cos ? cos ? 20 ? 10sin ? ?? 所求函数关系式为 y ? ? 10 ? ?0 ?? ? ? cos ? 4? ? ? 10 cos ? ? cos ? ? 20 ? 10 sin ? ? sin ? ? ?? ? ? 10 ? 2sin ? ? 1? (Ⅱ) y ' ? 2 cos ? cos 2 ? ? 1 ? ' 令 y ? 0 得 sin ? ? ,因为 0 ? ? ? ,所以 ? = , 6 2 4 ' ? ? ? 当 ? ? ? 0, ? 时, y ? 0 , y 是 ? 的减函数;
所以 y ? OA ? OB ? OP ?
? 6?

当 ? ? ? ? , ? ? 时, y ' ? 0 , y 是 ? 的增函数,所以当 ? =
? ? ?6 4?

? 时, ymin ? 10 ? 10 3 。 6
?
10 3 km 处。 3

这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上,在矩形区域内且距离 AB 边

? ? 20 设函数 f ? x ? ? a ? b ? c ,其中向量 a ? ? sin x, ? cos x ? , b ? ? sin x, ?3cos x ? ,

? c ? ? ? cos x,sin x ? , x ? R .

?

?

?

?

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小 ? 的d . 解:(Ⅰ)由题意得,f(x)= a ·( b ? c )=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,sinx-3cosx)

?

?

?

?

=sin2x-2sinxcosx+3cos2x=2+cos2x-sin2x=2+ 2 sin(2x+ 3? ).
4

所以,f(x)的最大值为 2+ 2 ,最小正周期是 2? = ? .
2

(Ⅱ)由 sin(2x+ 3? )=0 得 2x+ 3? =k. ? ,即 x= k? ? 3? ,k∈Z,
4 4

2

8

于是 d =( k? ? 3? ,-2) , d ? ( k? ? 3?) 2 4 ,?
?
2 8

?

2

8

k∈Z.

? ? 因为 k 为整数,要使 d 最小,则只有 k=1,此时 d =(― ? ,―2)即为所求
8

7

y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 , 21.已知向量 a ? (2cos α,2 sin α),b = (? sin α, cos α),x ? a ? (t ? 3)b,
2

?

?

?

?

? ?

?

?

? ?

(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式; (2)若 t ?[?1 , 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值 解:(1) a ? 4 , b ? 1 , a ? b ? 0 ,又 x ? y ? 0 , 所以 x ? y ? [a ? (t ? 3)b ] ? (?ka ? b ) ? ?ka ? (t ? 3)b ? [t ? k (t ? 3)]a ? b ? 0 ,
2 2 2

?2
?

?2

? ?

? ?

? ?

?

?

?

?2

?2

? ?

所以 k ?

1 3 1 3 3 t ? t ,即 k ? f (t ) ? t 3 ? t ; 4 4 4 4

(2)由(1)可得,令 f (t ) 导数 t -1 0

3 2 3 t ? ? 0 ,解得 t ? ?1 ,列表如下: 4 4
(-1,1) - 1 0 (1,3) +

f (t ) 导


f (t )

极大值

递减

极小值

递增

1 1 9 9 1 而 f (?1) ? ,f (1) ? ? ,f (3) ? , 所以 f (t ) max ? ,f (t ) min ? ? 2 2 2 2 2
22(本小题满分 12 分)设函数 f n ( ? ) ? sin n ? ? ( ? 1) n cos n ? , 0 ? ? ?

?
4

,其中 n 为正整数.

(Ⅰ)判断函数 f1 ( ? )、 f 3 ( ? ) 的单调性,并就 f1 ( ? ) 的情形证明你的结论; (Ⅱ)证明: 2 f 6 ( ? ) ? f 4 ( ? ) ? cos 4 ? ? sin 4 ?

?

?? cos

2

? ? sin 2 ? ;

?

(Ⅲ) (实验班做)对于任意给定的正整数 n ,求函数 f n ( ? ) 的最大值和最小值.

? ? ? .解: (1) f1 ( ? )、f 3 (? ) 在 ? 0, 上均为单调递增的函数. 4? ? ?
? ? ? 对于函数 f1 ( ? ) ? sin ? ? cos ? ,设 ?1 ? ? 2 , ?1、? 2 ? ? 0, ,则 4? ? ? f1 (?1 ) ? f1 (? 2 ) ? ? sin ?1 ? sin ? 2 ? ? ? cos ? 2 ? cos ?1 ? ,

…… 1 分

?

sin ?1 ? sin ? 2 , cos ? 2 ? cos ?1 ,
? ? ? 函数 f1 (? ) 在 ? 0, 上单调递增. 4? ? ?
…… 3 分

? f1 ??1 ? ? f1 ?? 2 ?, ?
(2)? 原式左边

? 2 sin 6 ? ? cos 6 ? ? sin 4 ? ? cos 4 ?
2

? ? 2? sin

? ? cos
2

2

? ? ? ?? sin
2
2

?
2

4

? ? sin ? ? cos 2 ? ? cos 4 ? ? sin 4 ? ? cos 4 ?
2
2

? ? ?

?
…… 5 分 …… 6 分

? 1 ? sin 2? ? cos 2? .
又? 原式右边 ? cos ? ? sin ?

?

? 2 f 6 ( ? ) ? f 4 ( ? ) ? cos ? ? sin ? cos 2 ? ? sin 2 ? . ? ? ? (3)当 n ? 1 时,函数 f 1 (? ) 在 ? 0, 上单调递增, 4? ? ?
4 4
[来源:学§科§网 Z§X§X§K]

?

?

2

? cos 2? .

??

8

?? ? ? f1 (? ) 的最大值为 f1 ? ? ? 0 ,最小值为 f1 ?0? ? ?1 . ?4? 当 n ? 2 时, f 2 ?? ? ? 1 ,? 函数 f 2 (? ) 的最大、最小值均为 1. ? ? ? 当 n ? 3 时,函数 f 3 (? ) 在 ? 0, 上为单调递增. 4? ? ? ?? ? ? f 3 (? ) 的最大值为 f 3 ? ? ? 0 ,最小值为 f 3 ?0? ? ?1 . ?4? 1 ? ? ? 当 n ? 4 时,函数 f 4 (? ) ? 1 ? sin 2 2? 在 ? 0, 上单调递减, 4? 2 ? ? ?? ? 1 ? f 4 (? ) 的最大值为 f 4 ?0? ? 1 ,最小值为 f 4 ? ? ? . ?4? 2 下面讨论正整数 n ? 5 的情形: ? ? ? 当 n 为奇数时,对任意 ?1、? 2 ? ? 0, 且 ?1 ? ? 2 , 4? ? ? ? f n (?1 ) ? f n (? 2 ) ? sin n ?1 ? sin n ? 2 ? cos n ? 2 ? cos n ?1 , 以及 0 ? sin ?1 ? sin ? 2 ? 1, 0 ? cos ? 2 ? cos ?1 ? 1 ,
[来源:Z_xx_k.Com]

…… 9 分

?

? ?

?

? sin n ?1 ? sin n ? 2 , cos n ? 2 ? cos n ?1 ,从而 f n (?1 ) ? f n (? 2 ) . ? ? ? ? f n (? ) 在 ? 0, ? 上为单调递增,则 4? ? ?? ? …… 11 分 f n (? ) 的最大值为 f n ? ? ? 0 ,最小值为 f 4 ?0? ? ?1 . ?4? 当 n 为偶数时,一方面有 f n (? ) ? sin n ? ? cos n ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ? f n (0) . 另一方面,由于对任意正整数 l ? 2 ,有 2 f 2l (? ) ? f 2l ?2 (? ) ? cos 2l ?2 ? ? sin 2l ?2 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 0 , 1 1 1 ?? ? ? f n (? ) ? f n ? 2 (? ) ? ? ? n f 2 (? ) ? n ? f n ? ? .

?

[来源:学§科§网]

??

?

2

22

?1

22

?1

?4?

?? ? ?1? ? 函数 f n ( ? ) 的最大值为 f n (0) ? 1 ,最小值为 f n ? ? ? 2 ? ? . ?4? ?2? 综上所述,当 n 为奇数时,函数 f n (? ) 的最大值为 0 ,最小值为 ? 1 . ?1? 当 n 为偶数时,函数 f n ( ? ) 的最大值为 1 ,最小值为 2 ? ? . …… 13 分 ?2?
n

n

9


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