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南昌二中高中物理竞赛力学教程第一讲 力、物体的平衡


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第一讲

力、物体的平衡
§1.1 常见的力

1、1、1 力的概念和量度 惯性定律指出,一个物体,如果没有受到其他物体作用,它就保持其相对于惯性参照系 的速度不变,也就是说,如果物体相对于惯性参照系的速度有所改变,必是由于受到其他物 体对它的作用,在力学中将这种作用称为力。凡是讲到一个力的时候,应当说清楚讲到的是 哪一物体施了哪一个物体的力。 一个物体,受到了另一物体施于它的力,则它相对于惯性参照系的速度就要变化,或者 说,它获得相对于惯性参照系的加速度,很自然以它作用于一定的物体所引起的加速度作为 力的大小的量度。实际进行力的量度的时候,用弹簧秤来测量。 由于地球的吸引而使物体受到的力,方向竖直向下,在地面附近,可近似认为 重力 重力不变(重力实际是地球对物体引力的一个分力,随纬度和距地面的高度而变化) 物体发生弹性变形后,其内部原子相对位置改变, 弹力 而对外部产生的宏观反作用力。 反映固体材料弹性性质的胡克定 l F 与胁变(应变) ε = ?l 之间的 律,建立了胁强(应力)σ = ?l

S

l

正比例关系,如图所示

σ = Eε

图 1-1-1

式中 E 为杨氏弹性模量,它表示将弹性杆拉长一倍时,横截面上所需的应力。 弹力的大小取决于变形的程度,弹簧的弹力,遵循胡克定律,在弹性限度内,弹簧弹力 的大小与形变量(伸长或压缩量)成正比。 TT T T F=-kx 式中 x 表示形变量; 负号表示弹力的方向与形变的方向 相反;k 为劲度系数,由弹簧的材料,接触反力和几何尺寸 决定。 接触反力 —限制物体某些位移或运动的周围其它物 G G 体在接触处对物体的反作 用力(以下简称反力) 。这种反 图 1-1-2 力实质上是一种弹性力,常见如下几类: 1、柔索类(图 1-1-2)如绳索、皮带、 A 链条等,其张力 NAA A ?方位 : 沿柔索

T? ?指向 : 拉物体

GA C
B 图 1-1-3

GA NB A

Nc A

一般不计柔索的弹性,认为是不可伸长 的。滑轮组中,若不计摩擦与滑轮质量,同 一根绳内的张力处处相等。 2、光滑面(图 1-1-3)接触处的切平面 方位不受力,其法向支承力

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?方位 : 沿法线 N? ?指向 : 压物体
3、光滑铰链 物体局部接触处仍属于光滑面,但由于接触位置难于事先确定,这类接 触反力的方位,除了某些情况能由平衡条件定出外,一般按坐标分量形式设 定。 (1)圆柱形铰链(图 1-1-4,图 1-1-5,图 1-1-6)由两个圆孔和一个圆柱 销组成。在孔的轴线方向不承受作用力,其分力 C

A

图 1-1-4

?方位 : 沿x轴 X? ?指向 : 待定 ?方位 : 沿y轴 Y? ?指向 : 待定
图中 AC 杆受力如图, 支座 B 处为可动铰, 水 平方向不受约束,反力如图。 (2)球形铰链(图 1-1-7,图 1-1-8)由一个球 碗和一个球头组成,其反力可分解为

yc xc
F

F1

F1
B A 图 1-1-5

x
yA
图 1-1-6

yB

X? ? 方位 : 沿坐标轴 Y? 指向 : 待定 Z? ?
4、固定端(图 1-1-9,图 1-1-10) 如插入墙内的杆端,它除限制杆端移动外,还限 制转动,需增添一个反力偶 M A 。

F

F

ZA xA yA
A 图 1-1-8

X ? 方位 : 沿坐标轴 ? Y ? 指向 : 待定

图 1-1-7

?方位 : 平面力系作用面 M A? ?转向 : 待定
A

q

F

物体与物体接触时, 在接 摩擦力 A 触面上有一种阻止它们相对滑动的作用 xA 力称为摩擦力。 MA 不仅固体与固体的接触面上有摩擦, 图 1-1-9 图 1-1-10 固体与液体的接触面或固体与气体的接 触面上也有摩擦,我们主要讨论固体与固体间的摩擦。 1.1.2、摩擦分为静摩擦和滑动摩擦 当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势(就是说:假如它们之间的接触是“光 滑的” ,将发生相对滑动)时,产生的摩擦力为静摩擦力,其方向与接触面上相对运动趋势的
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yA

F

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指向相反,大小视具体情况而定,由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来,最大静摩擦 力为

f max = ? 0 N
式中 ? 0 称为静摩擦因数,它取决于接触面的材料与接触面的状况等,N 为两物体间的正 压力。 当两个相互接触的物体之间有相对滑动时,产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的 方向与相对运动的方向相反,其大小与两物体间的正压力成正比。

f = ?N ? 为滑动摩擦因数,取决于接触面的材料与接触面的表面状况,在通常的相对速度范 围内,可看作常量,在通常情况下, ? 0 与? 可不加区别,两物体维持相对静止的动力学条件
为静摩擦力的绝对值满足

f ≤ f max = ?N
在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下,静摩擦因数 ? 0 略大于动摩擦因数 ? 。 摩擦角 令静摩擦因数 ? 0 等于某一角 ? 的正切值,即 ? 0 = tg? ,这个 ? 角就称为摩擦 角。在临界摩擦(将要发生滑动状态下), f max N =

? 0 = tg ? 。支承面作用于物体的沿法线

方向的弹力 N 与最大静摩擦力 f max 的合力 F(简称全反力)与接触面法线方向的夹角等于摩 擦角,如图 1-1-11 所示(图中未画其他力) 。在一般情况下,静摩擦力 f 0 未达到最大值,即

f0 ≤ ?0 N ,
因此接触面反作用于物体 的全反力 F ′ 的作用线与面法 F

f0 f ≤ ? 0 , 0 ≤ tg? N N
N F A

F′

f α = arctg 0 N ,不会 线的夹角 大于摩擦角,即 α ≤ ? 。物体

fm

v

不会滑动。由此可知,运用摩 图 1-1-12 图 1-1-11 擦角可判断物体是否产生滑动 图 1-1-13 的条件。如图 1-1-12 放在平面 上的物体 A,用力 F 去推它,设摩擦角为 ? ,推力 F 与法线夹角为 α ,当 α < ? 时,无论 F 多大,也不可能推动物块 A,只有 α > ? 时,才可能推动 A。 摩擦力作用的时间 因为只有当两个物体之间有相对运动或相对运动趋势时,才有摩擦 力,所以要注意摩擦力作用的时间。如一个小球竖直落下与一块在水平方向上运动的木块碰 撞后,向斜上方弹出,假设碰撞时间为 ?t ,但可能小球不需要 ?t 时间,在水平方向上便已具 有了与木块相同的速度,则在剩下的时间内小球和木块尽管还是接触的,但互相已没有摩擦 力。 如图 1-1-14,小木块和水平地面之间的动摩擦因数为 ? ,用一个与水平方向成多大
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角度的力 F 拉着木块匀速直线运动最省力? 将摩擦力 f 和地面对木块的弹力 N 合成一个力 F ′ ,摩擦角为

F′

N F

F

f = tg ?1 ? N ,这样木块受三个力:重力 F ′ 和拉力 F,如图 1-1-14, G,桌面对木块的作用力 作出力的三角形,很容易看出当 F 垂直于 F ′时 F 最

? = tg ?1

f
G 图 1-1-14

F′
G

小,即有 F 与水平方向成 ? = tg

?1

? 时最小。
v0 ,物 A 在皮带上以速度 v1 垂直朝

例1、 例 1、 如图 1-1-15 所示皮带速度为 皮带边运动,试求物 A 所受摩擦力的方向。 解:物 A 相对地运动速度为 力 f 与 Vr 方向相反如图所示。

Vr , V1 = V0 + Vr ,滑动摩擦

A

V1
A

V0

α > ? m 的情形可 例 2、物体所受全反力 R 与法向的夹角
能出现吗?

V1
图 1-1-15

V0′

f

α > ? m 则 tga > tg? m 即 N > ? 。 解:不可能。因为若有
F α = tg ?1 ( ) N ,有如下三种情形: 可事先假定它静止,由平衡求出 ?< ? m 静止 ? α ?= ? m临界状态 ?> ? 滑动 ? m

f

∴ f > f max , 这是不可能的。 然而在要判断一个受摩擦物体是否静止时,

F2 F 3 F4

F合
图 1-1-16

§1.2 力的合成与分解 1.2.1、力的合成遵循平行四边形法则 F2 即力 F1和F2 的合力即此二力构成的平行四 边形的对角线所表示的力 F, 如图 1-2-1(a)根据 此法则可衍化出三角形法则。即:将 F1 , F2 通过 平移使其首尾相接, 则由起点指向末端的力 F 即 F1 (a)

F

F F1 (b)

F2

F1 , F2 的合力。 (如图 1-2-1(b))

图 1-2-1

如果有多个共点力求合力, 可在三角形法则 的基础上,演化为多边形法则。如图 1-2-2 所示,a 图为有四个力共点 O,b 图表示四个力矢

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首尾相接,从力的作用 点 O 连接力 F4 力矢末端 的有向线段就表示它们 的合力。而(c)图表示五 个共点力组成的多边形 是闭合的,即 F1 力矢的 F3 F4 F1 (a) F2
∑F

F4 F3 F5

F4

F3 F2 F1

F1 (b) 图 1-2-2

F2 (c)

起步与 5 力矢的终点重 合,这表示它们的合力为零。 力的分解是力的合成的逆运算,也遵循力的平行四边形法则,一般而言,一个力分解为 两力有多解答,为得确定解还有附加条件,通常有以下 三种情况: ①已知合力和它两分力方向,求这两分力大小。这有确定的一组解答。 ②已知合力和它的一个分力,求另一个分力。这也有确定的确答。 ③已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向,求第一个合力方向和第二分力大小, 其解答可能有三种情况:一解、两解和无解。 1.2.2、平面共点力系合成的解析法 如图 1-2-3, 将平面共点力及其合力构成力的多边形 abcde, 并在该平面取直角坐标系 Oxy, 作出各力在两坐标轴上的投 影,从图上可见: y y e ? R x = F1x + F2 x + F3 x + F4 x F4 F4y ? R R d ? R y = F1 y + F2 x + F3 x + F4 x x Ry F3y a 上式说明, 合力在任意一 F3 α F1 轴上的投影, 等于各分力在同 c F1y F2y 一轴上投影的代数和, 这也称 F2 b x 为合力投影定理。 知道了合力 O x F1x F2x F3x O Rx Rx 和 R y , Fy F4x R 的两个投影 就 难求出合力的大小与方向了。 合力 R 的大小为: (a)
2 R = R x2 + R y

F

图 1-2-3

(b)

合力的方向可用合力 R 与 x 轴所夹的角的正切值来确定:

tga =

Ry Rx

1.2.3、平行力的合成与分解 作用在一个物体上的几个力的作用线平行, 且不作用于同一点, 称为平行力系。 如图 1-2-4 如果力的方向又相同,则称为同向平行力。

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两个同向平行力的合力(R)的大小等于两分力大小之和,合力作用线与分力平行,合力 方向与两分力方向相同,合力作用点在两分力作用点的连线上,合力作用点到分力作用点的 距离与分力的大小成反比,如图 B O 1-2-4(a),有: O F2 A

? R = F1 + F2 ? ? AO F2 ? BO = F 1 ?

A F1 R

F2 R F1 (a)

B

两个反向平行力的合力(R)的 (a) 大小等于两分力大小之差,合力作 图 1-2-4 用线仍与合力平行,合力方向与较 大的分力方向相同,合力的作用点 在两分力作用点连线的延长线上,在较大力的外侧,它到两分 力作用点的距离与两分力大小成反比,如图 1-2-4(b),有:

Z

R = F1 ? F2 OA F1 = OB F2
1.2.4、空间中力的投影与分解 力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间 X X i

z

γ k j α Y β Y

v 夹角的余弦,如图 1-2-5 中的 F 力在 ox、oy、oz 轴上的投影
X、Y、Z 分别定义为

图 1-2-5

X = F cos a ? ? Y = F cos β ? Z = F cos γ ? ?
这就是直接投影法所得结果, 也可如图 1-2-6 所示 采用二次投影法。这时

Z F

v v v X = Fxy cos( Fxy , x) v v Fxy F 式中 为 在 oxy 平面上的投影矢量,而 v v v Fxy = F sin( F , Z )
力沿直角坐标轴的分解式

O X 图 1-2-6 Fxy

Y

r r r r r r F = Xi + Yj + Zk = Fx i + Fy j + Fz k

§1.3 共点力作用下物体的平衡 1.3.1、共点力作用下物体的平衡条件 几个力如果都作用在物体的同一点,或者它们的作用线相交于同一点,这几个力叫作共 点力。当物体可视为质点时,作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时,作

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用于其上的力是否可视为共点力要看具体情况而定。 物体的平衡包括静平衡与动平衡,具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这 三种平衡状态。 共点力作用下物体的平衡条件是;物体所受到的力的合 F3 力为零。 v F1

∑F
i

i

=0

或其分量式:

γ β α
iy

∑F
i

ix

=0

∑F
i

=0

∑F
i

iz

=0

F2

如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡, 图 1-3-1 用力的图示表示,则这些力必组成首尾相接的闭合力矢三角 形或多边形; 力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡; 如果物体只在两个力作用下平衡,则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上,我 们常称为一对平衡力;如果物体在三个力作用下平衡,则此三力一定共点、一定在同一个平 面内,如图 1-3-1 所示,且满足下式(拉密定理) :

F F1 F = 2 = 3 sin α sin β sin γ
1.3.2、推论 物体在 n(n≥3)个外力作用下处于平衡状态,若其中有 n-1 个力为共点力,即它们的作用 线交于 O 点,则最后一个外力的作用线也必过 O 点,整个外力组必为共点力。这是因为 n-1 个外力构成的力组为共点(O 点)力,这 n-1 个的合力必过 O 点,最后一个外力与这 n-1 个外 力的合力平衡,其作用线必过 O 点。 特例,物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时,这三个力的作用线必 相交于一点且一定共面。 §1.4 固定转动轴物体的平衡 1.4.1、力矩 力的三要素是大小、方向和作用点。由作用点和力的方向所确定 F 的射线称为力的作用线。力作用于物体,常能使物体发生转动,这时 O 外力的作用效果不仅取决于外力的大小和方向,而且取决于外力作用 d 线与轴的距离——力臂(d)。 力与力臂的乘积称为力矩,记为 M,则 M=Fd,如图 1-4-1,O 为 垂直于纸面的固定轴,力 F 在纸面内。 图 1-4-1 力矩是改变物体转动状态的原因。力的作用线与轴平行时,此力 对物体绕该轴转动没有作用。若力 F 不在与轴垂直的平面内,可先将 力分解为垂直于轴的分量 F⊥和平行于轴的分量 F∥,F∥对转动不起作用,这时力 F 的力矩 为 M=F⊥d。 通常规定 绕逆时方向转动的力矩为正。当物体受到多个力作用时,物体所受的总力矩等 于各个力产生力矩的代数和。
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1.4.2、力偶和力偶矩 一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图 1-4-2 中 F1 , F2 即为力偶,力偶不 能合成为一个力,是一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直 F1 的任一轴,这一对力的力矩的代数和称为力偶矩,注意到

F1 = F2 = F ,不难得到,M=Fd,式中 d 为两力间的距离。力偶
矩与所相对的轴无关。 1.4.3、有固定转动轴物体的平衡 有固定转轴的物体,若处于平衡状态,作用于物体上各力的 力矩的代数和为零。 F2

r1

r2

O

图 1-4-2 §1.5 一般物体的平衡 力对物体的作用可以改变物体的运动状态,物体各部位所受力的合力对物体的平动有影 响,合力矩对物体的转动有影响。如果两种影响都没有,就称物体处于平衡状态。因此,一 般物体处于平衡时,要求物体所受合外力为零 足,一般物体的平衡条件写成分量式为

(∑ F外 = 0)

和合力矩为零

(∑ M = 0)

同时满

∑F ∑F ∑F

x y

= 0 ∑Mx = 0

z

∑M = 0 ∑M
=0

y z

=0 =0

分别为对 x 轴、y 轴、z 轴的力矩。 由空间一般力系的平衡方程,去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方程,容易导出 各种特殊力系的独立平衡方程。 如平面力系(设在 xOy 平面内) ,则 的平衡方程为:
x

M x,M y,M z

∑F

x

= 0, ∑ M x = 0, ∑ M y = 0

自动满足,则独立

∑F = 0 ∑F = 0 ∑F = 0 ∑ M = 0 这一方程中的转轴可根据需要任意选取,一般原则是使尽量多的力的力臂为
y z z

零。 平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个,空间汇交力系和空间平行力系的独 立平衡方程均为三个。 §1.6 平衡的稳定性 1.6.1、重心 物体的重心即重力的作用点。在重力加速度 g 为常矢量的区域, 物体的重心是惟一的 (我 们讨论的都是这种情形) ,重心也就是物体各部分所受重力的合力的作用点,由于重力与质量
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v

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成正比,重力合力的作用点即为质心,即重心与质心重合。 求重心,也就是求一组平行力的合力作用点。相距 L,质量分别为 m1 , m2 的两个质点构成 的质点组,其重心在两质点的连线上,且 m1 , m2 与相距分别为:

(m1 + m2 ) L1 ? m2 L = 0 (m1 + m2 ) L2 ? m1 L = 0 m2 L m1 L L1 = L2 = m1 + m2 m1 + m2
均匀规则形状的物体,其重心在它的几何中心, 求一般物体的重心, 常用的方法是将物体分割成若干 个重心容易确定的部分后, 再用求同向平行力合力的 方法找出其重心。 物体重心(或质心)位置的求法 我们可以利用力矩和为零的平衡条件来求物体 的重心位置。如图 1-6-1 由重量分别为 G1 ,G2 的两 G 均匀圆球和重量为 3 的均匀杆连成的系统,设立如 X

R B O A C G3 P

x

x1 G

1

x3

x2
图 1-6-1

G2

图坐标系,原点取在 A 球最左侧点,两球与杆的重心的坐标分别为 点,我们现在求其坐标 x。设想在 P 处给一支持力 R,令

x1 , x 2 , x3

,系统重心在 P

R = G1 + G2 + G3 达到平衡时有:

∑M = G x
x=

1 1

+ G2 x2 + G3 x3 ? Rx = 0

∴ 这样就得出了如图所示的系统的重心坐标。若有多个物体组成的系统,我们不难证明其 重心位置为:

G1 x1 + G2 x 2 + G3 x3 G1 x1 + G2 x 2 + G3 x3 = R G1 + G2 + G3

? ∑ Gixi ?x = ∑ Gi ? ? ? ∑ Giy ?y = ∑ Gi ? ? Giz ?z = ∑ ? Gi ?
一般来说,物体的质心位置与重心位置重合,由上面公式很易得到质心位置公式:

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? ∑ mi x i ?x = ∑ mi ? ? ? ∑ mi y i ?y = ∑ mi ? ? mz ?z = ∑ i i ? ∑ mi ?

P

l
图 1-6-2

如图 1-6-2,有 5 个外形完全一样的均匀金属棒首尾相接焊在一起,从左至右其密度分别 为ρ、⒈1ρ、⒈2ρ、⒈3ρ、⒈4ρ,设每根棒长均为 l ,求其质心位置,若为 n 段,密度仍 如上递增,质心位置又在什么地方? 解:设整个棒重心离最左端距离为 x,则由求质心公式有

m1 x1 + m 2 x 2 + L + m5 x5 m1 + m2 + L + m5 i l 3 5 7 9 ρv ? + 1.1ρv ? l + 1.2 ρv ? l + 1.3 ρv ? l + 1.4 ρv ? l 2 2 2 2 2 = υv + 1.1ρv + 1.2 ρv + 1.3ρv + 1.4 ρb = 2.67l x=
i i

∑m x ∑m

=

若为 n 段,按上式递推得:

x=

l ? 2

1 + 1.1 × 3 + 1.2 × 5 + 1.3 × 7 + L + (1 +

n ?1 )(2n ? 1) 10 n ?1 1 + 1.1 + 1.2 + 1.3 + L + (1 + ) 10

将坐标原点移到第一段棒的重心上,则上式化为:

n ?1 )(n ? 1) 10 x= l n ?1 1 + 1.1 + 1.2 + L + (1 + ) 10 1 2 n ?1 (1 + ) + (1 + ) × 2 + L + (1 + )(n ? 1) 10 10 10 = n ?1 1 + 1.1 + 1.2 + L + (1 + ) 10 [1 + 2 + L + (n ? 1)] + 1 12 + 2 2 + L + (n ? 1) 2 10 = l n ?1 1 + 1.1 + 1.2 + L + (1 + ) 10 (n ? 1)(2n + 3q ) = l 3(n + q ) 1.1 + 1.2 × 2 + 1.3 × 3 + L + (1 +

[

]

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B A

C 图

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例、如图 1-6-3 所示,A、B 原为两个相同的均质实心球,半径为 R,重量为 G,A、B 球

R 3R 35 和 G 4 的小球,均质杆重量为 64 ,长度 l = 4 R ,试求系统的重心位置。 分别挖去半径为 2
解:将挖去部份的重力,用等值、反向的力取代,图示系统可简化为图 1-1-31 所示平行 力系;其中 A B G 27

G a′ =

8

, G b′ =

64

G

l

。设重心位置为 O,

则合力

a

a′
C 图 1-6-3

b b′



G 27 93 W =G+G? ? G = G 8 64 64 ∑ M 0 (Gi ) = 0


G (3R ? OC ) +
∴ OC=0.53R

27 R G R 35 G (OC + 3R + ) = (3R ? ? OC + G ? OC + G (3R + OC ) 64 4 8 2 64

1.6.2、物体平衡的种类 物体的平衡分为三类: 稳定平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,如果外力或 外力矩促使物体回到原平衡位置,这样的平衡叫稳定平衡,处于稳定平衡的物体,偏离平衡 位置时,重心一般是升高的。 不稳定平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界的扰动而偏离平衡位置时,如果外力或 外力矩促使物体偏离原来的平衡位置,这样的平衡叫不稳定平衡,处于不稳定平衡的物体, 偏离平衡位置时,重心一般是降低的。 随遇平衡 处于平衡状态的物体,当受到外界扰动而偏离平衡位置时,物体受到的合 外力或合力矩没有变化,这样的平衡叫随遇平衡,处于随遇平衡的物体,偏离平衡位置后, 重心高度不变。 在平动方面,物体不同方面上可以处于不同的平衡状态,在转动方面,对不同方向的转 轴可以处于不同的平衡状态。例如,一个位于光滑水平面上的直管底部的质点,受到平行于 管轴方向的扰动时,处于随遇平衡状态;受到与轴垂直方向的扰动时,处于稳定平衡状态, 一细棒,当它直立于水平桌面时,是不稳定平衡,当它平放在水平桌面时,是随遇平衡。 1.6.3、稳度 物体稳定的程度叫稳度,一般说来,使一个物体的平衡遭到破坏所需的能量越多,这个 平衡的稳度就越高。稳度与重心的高度及支面的大小有关,重心越低,支面越大,稳度越大。 §1.7 流体静力学 流体并没有一定的开头可以自由流动,但具有一定的密度,一般认为理想流体具有不可 压缩的特征。 1. 7. 1、 静止流体中的压强

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(1)静止流体内部压强的特点 在静止流体内任何一点处都有压强,这一压强与方向无关仅与该点的深度有关;相连通 的静止流体内部同一深度上各点的压强相等。 关于流体内部的压强与方向无关,可以证明如下: 在静止流体中的某点处任取一个长为 ?l 的极小的直角三棱液柱,令其两侧面分别在竖直 面内和水平面内,作其截面如图 1-7-1 所示,图中坐标轴 x 沿水平方向,坐标轴 y 沿竖直方 向,以 ?x, ?y, ?n 分别表示此液柱截面三角形的三条边长,且

y

P P ,P 以 α 表示此截面三角形的一个锐角如图 1-7-1, 又以 x , y n
分别表示对应侧面上压强的大小,则各侧面所受压力的大小分 别为:

?f n ?f x

α
?y

α
?x

?f x = Px ?y?l ?f y = Py ?x?l ?f n = Pn ?n?l

?f y

x

O 图 1-7-1

由此液柱很小,则其重力将远小于它的一个侧面所受到的 压力,故可忽略其重力的作用。则由此液柱的平衡条件知上述三力应互相平衡,乃有:



??f x = ?f n cos a ? ??f y = ?f n sin a ? Px ?y?l = Pn ?n?l cos a ? ? Py ?x?l = Pn ?n?l sin a
Px = Py = Pn

注意到 ?x = ?n sin a, ?y = ?n cos a ,代入上式便得 说明在流体内部的同一点处向各个方向的压强是相等的。 (2)静止流体内部压强的大小 若静止流体表面处的压强为 P。 (通常即为与该流体表面相接触的气体的压强) ,流体的密 ρ ,则此流体表面下深度为 h 处的压强为 度为

P = p0 + ρgh
由上式可见,在静止流体内部高度差为 ?h 的两点间的压强差为

?p = ρ g?h
1.7.2、浮力与浮心 浮力是物体在流体中所受压力的合力。浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它所排 开流体的重量,浮力的方向竖直向上。这就是阿基米德定律,可表示为

F = ρ 液 gV排
浮力的作用点称为浮心,浮心就是与浸没在流体中的物体同形状、同体积那部分流体的 重心,它并不等同于物体的重心。只有在物体密度均匀时,它才与浸没在液体中的物体部分 的重心重合。
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1.7.3、浮体平衡的稳定性 浮在液体表面的浮体,所受浮力与重力大小相等、方向 F F 相反,处于平衡状态。浮体平衡的稳定性,将因所受扰动方 式的不同而异。显然,浮体对铅垂方向的扰动,其平衡是稳 O 定的;对水平方向的扰动,其平衡是随遇的。 O Q Q 浮体对于过质心的水平对称轴的旋转扰动, 其平衡的稳 定性视具体情况而定。以浮力水面的船体为例:当船体向右 θ G G 倾斜(即船体绕过质心 O 的水平对称轴转动一小角度)时, 其浮心(浮力作用点)Q 将向右偏离,浮力 F 与重力 G 构成 (a) (a) 一对力偶,力偶矩将促使船体恢复到原来的方位,如图 图 1-7-2 1-7-2(a)所示,可见船体对这种扰动,其平衡是稳定的。但 如果船体重心 O 太高, 船体倾斜所造成的力偶矩也可能促使船体倾斜加剧, 这时船体的平衡 就是不稳的,如图 1-7-2(b)所示。

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