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1.3空间几何体的表面积与体积


在初中已经学过了正方体和长方体的表面积, 你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关 系吗?

几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

棱柱、棱锥、棱台都是由多 个平面图形围成的几何体,它们 的展开图是什么?如何计算它们 的表面积?

> 棱柱,棱锥,棱台的表面积

棱柱

棱锥

棱台

一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和

例1.已知棱长为 a ,各面均为 等边三角形的四面体S-ABC,求 它的表面积 .
S

A

B

C

例1.已知棱长为 a ,各面均为等边三角形的四 面体S-ABC,求它的表面积 .
分析:四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成. 解:过点S作 SD ? BC , 交BC于点D.
S A B D ∵ BC ? a , SD ? SB 2 ? BD 2 ? a 2 ? ( a )2 ? 3 a 2 2

? S?SBC
C

1 1 3 3 2 ? BC ? SD ? a ? a? a 2 2 2 4
3 2 S ? 4? a ? 3a 2 4

因此,四面体S-ABC的表面积为

练习:已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm, 高与斜高的夹角为300,求正四棱锥的侧面积 和表面积。

如何根据圆柱,圆锥的几何结 构特征,求它们的表面积?

r O?
l
O
2? r

圆柱的侧面展开图是矩形

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )
2

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

2?r

l

r

圆锥的侧面展开图是扇形
O

(1)联系圆柱和圆锥的展开图,你能想 象圆台展开图的形状并且画出它吗?
(2)如果圆台的上,下底面半径分别 为 r ?, r ,母线长为l,你能计算出它 的表面积吗?

圆台的侧面展开图 是扇环

r 'O’
l

2?r '

2?r

r

O

S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )

'2

r 'O’
l

x

2?r '

2?r

r

O

圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间 有什么关系?
S ? ? ( r ? r 2 ? r ' l ? rl )
'2

l

r

O?

r 'O’
l
l

r

O

r

O
S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

O
S ? 2? r 2 ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

例、圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm, 它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800,那么 圆台的侧面积是

例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm, 盆底直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm, 盆壁长15cm.为了美化花盆的外观,需要涂油 漆.已知每平方米用100毫升油漆,涂100个这样 的花盆需要多少油漆(取 ? ? 3.14,结果精确到 1毫升,可用计算器)? 20 cm
15 cm
15 cm

例2.如图,一个圆台形花盆盆口直径20cm,盆底直 径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长15cm.为 了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用100毫 升油漆,涂100个这样的花盆需要多少油漆(取 ? ? 3.14, 结果精确到1毫升,可用计算器)? 解:花盆外壁的表面积: 20 cm
S ? ? ? [( 15 2 15 20 1.5 ) ? ? 15 ? ? 15] ? ? ? ( )2 2 2 2 2

? 1000(cm 2 ) ? 0.1( m 2 ) 涂100个花盆需油漆:
0.1 ? 100 ? 100 ? 1000 (毫升)

15 cm
15 cm

答:涂100个这样的花盆约需要1000毫升 油漆.

利用三视图求几何体面积
1、若某空间几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积是

2
1

2

2、一个几何体的三视图如图,该几何体的表面 积是 (A)372 (B)360 (C)292 (D)280

3、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图 所示,则其侧面积等于 ( ) A. B.2 C. D.6

柱体、锥体、台体、球体的体积

柱体体积公式

S

S

S

等底等高的柱体等体积

柱体的体积公式 :

V柱体 ? Sh
S是柱体的底面积,h是柱体的高

锥体体积公式

等底等高的棱锥与圆锥体积相同

圆锥的体积
1 V= 3 Sh

S是圆锥的底面积, h是高

棱锥的体积
1 V= 3

Sh

S是棱锥的底面积, h是高

台体体积公式

由于圆台(棱台)是由圆锥 (棱锥)截成的,因此可以利 用两个锥体的体积差.得到 圆台(棱台)的体积公式.
V ? VP? ABCD ? VP? A?B?C?D?
1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3
A

P
A?

S?
B?

D?

C?

h
S

D

C
B

台体的体积公式

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3 其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为台体的高.

例3
3 有一堆规格相同的铁制(铁的密是 7.8g/cm ) 六角螺帽共重5.8kg,已知底面是正六边形, 边长为12mm,内孔直径为10mm,高为10mm, 问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14)?

解:六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆 柱体积之差,即:
3 10 2 2 V? ? 12 ? 6 ? 10 ? 3.14? ( ) ? 10 4 2 3 3 ? 2956(mm ) ? 2.956(cm )

所以螺帽的个数为

(个)

答:这堆螺帽大约有252个.

1.3.2球体体积和表面积

球体的体积公式
1.球的体积

4 V ? ?R 3 3

2.球的表面积

S ? 4?R 2

例4、如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径, 求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积. (2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二. 证明: (1)设球的半径为R, 则圆柱的底面半径为R,高为2R. 2 得: S 球 ? 4?R 2 R S圆柱侧 ? 2?R ? 2 R ? 4?R O
? S 球 ? S圆柱侧

(2)

Q S 圆柱全

? 4? R

2

? 2? R
2

2

? 6? R

2

S 球 ? 4?R 2 ? S 球 ? S圆柱全 3

练习 p28 1、2、3

例5.如图,正方体的棱长为a,它的各个顶点都 在球的球面上,求球的表面积和体积。
分析:正方体内接于球,则由球和正方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则正方体体对角线与球的直径相等。

解:Q 正方体内接于球 ? 球的直径等于正方体的体对角线长 ? ( 2 R ) ? 3a ? R ?
2 2
3 2

D A O D1 A1 B1 B

C

a

3 3 3 ? S ? 4 ?R2 ? 3?a2 且V ? 4 ? ? 3 R 2 ?a

C1

两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上。

(变式) 球的内接长方体的长、宽、高分别为 3、 2、 3 ,求此球体的表面积和体积。
分析:长方体内接于球,则由球和长方 体都是中心对称图形可知,它们中心重 合,则长方体体对角线与球的直径相等。

解: Q 长方体内接于球 ? 球的直径等于长方体的体对角线长 ?( 2 R )2 ? 32 ? 22 ? ( 3 )2 ? 16 ? R ? 2
3 ? S ? 4 ?R2 ? 16 ?且V ? 4 ? R ? 3 32 3

?

例6、已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O 的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2cm, 求球的体积、表面积.
解:如图,设球O半径为R, 截面⊙O′的半径为r,

O A
O?

R ? O?O ? , ?ABC是正三角形, 2

C

B

2 3 2 3 O?A ? ? AB ? ?r 3 2 3

例6、已知过球面上三点A、B、C的截面到球 心O的距离等于球半径的一半,且 AB=BC=CA=2cm,求球的体积、表面积。
2 2 2 ? ? ? 在Rt ?OO A中,? OA ? O O ? O A ,

?R

2

4 ?R ? . 3 4 4 4 3 256 3 V ? ?R ? ?( ) ? ?; 3 3 3 81 16 64 2 S ? 4? R ? 4? ? ? ?. 9 9

R 2 2 3 2 ?( ) ?( ) , 2 3

O A
O?

C

B


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