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2014.05.09高三数学(集合、函数、导数、不等式、三角、向量、数列)一轮复习期中测试题


考试日期: 高三数学(集合、函数、导数、不等式、三角、向量、数列)一轮复习期中测试题 (时间 150 分钟 分数 150 分)姓名: 分数:

一、选择题(每小题 6 分,共 60 分):
1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x || x ? 1|? 1}, B ? {x | y ? 2 x , y ? 1}, 则 A A. ? B. {0} C. {x | 0 ? x ? 2}

(CU B ) =(

)

D. {x | x ? 2}

2. 已知函数 g(x)=2x,且有 g(a)g(b)=2,若 a>0 且 b>0,则 ab 的最大值为( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 2 4 ? 1 ? 3. 已知函数 f(x)=x2+2bx 过点(1,2),若数列?f(n)?的前 n 项和为 Sn,则 S2 012 的值为( ? ? 2 012 2 010 2 013 2 012 A. B. C. D. 2 011 2 011 2 012 2 013 2 4. “λ<1”是“数列 an=n -2λn(n∈N*)为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数 y ? 2sin ? A

)

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之差为( 3? ? 6
B. 4 C. 3

)

2? 3

D. 2 ? 3 )

6. "a ? 0" “是函数 f ( x ) ?| x (2 ? ax) | 在区间 (0,+?) 内单调递增”的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2? 7.已知向量 a=(an,2),b=? ?an+1,5?,且 a1=1,若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a∥b,则 Sn=( 1 5 A. ?1-?5? ? 4? ? ? ? 8.已知
n

)

1 1 B. ?1-?5? ? 4? ? ? ?

n

1 1 n-1 C. ?1-? ? ? 4? ?5? ?
[来源:Zxxk.Com]

5 1 n-1 D. ?1-? ? ? 4? ?5? ?

f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9 x ? abc, a ? b ? c ,且

f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,现给出如下结论:


f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 .

其中正确结论的序号是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 2 2 2 9. 在△ABC 中,sin A≤sin B+sin C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是(

).

? π? A.?0, ? 6? ?

?π ? B.? ,π ? ?6 ?

? π? C.?0, ? 3? ?

?π ? D.? ,π ? ?3 ?

10.函数 y ? A. 4

1 ? 4 ? x ? 8) 的图像所有交点的横坐标之和等于 ( 的图像与函数 y ? sin x( ? 2? x 2 B. 8 C. 12 D. 16

)

一、请将选择题的答案填入下表 ?5'?12 ? 60'? : 题号 答案 二、填空题(每小题 6 分,共 30 分):
11. 曲线 y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为 12. 在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? 13. 已知平面向量 a .

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1 ) ,则 a 5 ? _____; n

? (2, 4) ,. b ? (1,?2) 若 c ? a ? (a ? b )b , 则 | c |? _________

? 1 ln ( x ? 0) ? ? x 14. 函数 f ( x) ? ? ,则 f ? x ? ? ?2 的解集为 ?1 ( x ? 0) ? ?x

.

15.如图矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同的正方形,其中 A, B, C , D 都 在矩形的边上,若向量 BD ? xAE ? yAF ,则 x ? 2 y ? .

三、解答题(每小题 15 分,共 60 分): 16.(本题满分 15 分)
在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (Ⅰ)求角 B 的大小;(Ⅱ)若 b=3,sinC=2sinA,求△ABC 的面积.

17. 已知 a ? (1, ?2), b ? ( x, y) .(Ⅰ)若 x 是从 ?2, 0,1, 2 四个数中任取的一个数, y 是从 ? 1,0,1 三 个数中任取的一个数,求 a ? b 的概率.(Ⅱ)若 x 是从区间 [?1,2] 中任取的一个数, y 是从区间

[ ?1,1] 中任取的一个数,求 a, b 的夹角是钝角的概率.

18. 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 , 且满足 2Sn?1 ? 4Sn ? 1 (n ? N ? ) . 2

(Ⅱ)当1 ? i ? n ,1 ? j ? n ( i, j , n 均为正整数)时,求 ai 和 a j 的所有可能的乘积 ai a j 之和.

19.已知函数 f ( x) ? e x ? 2 x ( e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求曲线 f ( x ) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 2 使不等式 f ( x) ? mx 成立,求实数 m 的取值范围. ..x ? ? , 2 ?

?1 ?

? ?

考试日期: 高三数学(集合、函数、导数、不等式、三角、向量、数列)一轮复习期中测试题 (时间 150 分钟 分数 150 分)姓名: 分数:

一、选择题(每小题 6 分,共 60 分):
1.设全集 U ? R ,集合 A ? {x || x ? 1|? 1}, B ? {x | y ? 2 x , y ? 1}, 则 A A. ? B. {0} C. {x | 0 ? x ? 2}

(CU B ) =( B )

D. {x | x ? 2}

2. 已知函数 g(x)=2x,且有 g(a)g(b)=2,若 a>0 且 b>0,则 ab 的最大值为( B ) 1 1 A. B. C.2 D.4 2 4 ? 1 ? 3. 已知函数 f(x)=x2+2bx 过点(1,2),若数列?f(n)?的前 n 项和为 Sn,则 S2 012 的值为( D ) ? ? 2 012 2 010 2 013 2 012 A. B. C. D. 2 011 2 011 2 012 2 013 4. “λ<1”是“数列 an=n2-2λn(n∈N*)为递增数列”的( A ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.函数 y ? 2sin ? A

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值之差为( A ) 3? ? 6
B. 4 C. 3 D. 2 ? 3

2? 3

6. "a ? 0" “是函数 f ( x ) ?| x (2 ? ax) | 在区间 (0,+?) 内单调递增”的(C) A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

2? 7.已知向量 a=(an,2),b=? ?an+1,5?,且 a1=1,若数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a∥b,则 Sn=(A) 1 n 1 n 5 1 A. ?1-?5? ? B. ?1-?5? ? 4? ? ? ? 4? ? ? ? n-1 1 1 5 1 n-1 C. ?1-? ? ? D. ?1-? ? ? 4? ?5? ? 4? ?5? ? 8.已知

f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9 x ? abc, a ? b ? c ,且

[来源:Zxxk.Com]

f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,现给出如下结论:


f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 .

其中正确结论的序号是(C) A.①③ B.①④

C.②③

D.②④

8.

9. 在△ABC 中,sin A≤sin B+sin C-sin Bsin C,则 A 的取值范围是( C ).

2

2

2

? π? A.?0, ? 6? ?
10.函数 y ? A. 4

?π ? B.? ,π ? 6 ? ?

? π? C.?0, ? 3? ?

?π ? D.? ,π ? 3 ? ?

1 ? 4 ? x ? 8) 的图像所有交点的横坐标之和等于 ( D ) 的图像与函数 y ? sin x( ? 2? x 2 B. 8 C. 12 D. 16

一、请将选择题的答案填入下表 ?5'?12 ? 60'? : 题号 答案 二、填空题(每小题 6 分,共 30 分):
11. 曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

. y ? 3x ? 1

12. 在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? 13. 已知平面向量 a 则|c

1 ) ,则 a 5 ? _____;2 ? ln5 n

? (2, 4) ,. b ? (1,?2) 若 c ? a ? (a ? b )b ,

|? _____________. 8 2

? 1 ln ( x ? 0) ? ? x 14. 函数 f ( x) ? ? ,则 f ? x ? ? ?2 的解集为 1 ? ( x ? 0) ? ?x

.

15.如图矩形 ORTM 内放置 5 个大小相同的正方形,其中 A, B, C , D 都

在矩形的边上,若向量 BD ? xAE ? yAF ,则 x ? 2 y ?

.

三、解答题(每小题 15 分,共 60 分): 16.(本题满分 15 分)
在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= 3 acosB。 (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 b=3,sinC=2sinA,求△ABC 的面积. 16.(本题满分 12 分) (Ⅰ) bsinA= 3 acosB,

由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 即得 tan B ? 3 ,? B ?

?
3

..

??????7 分

(Ⅱ)

sinC=2sinA,由正弦定理得 c ? 2a ,
2

由余弦定理 b 解得 a

2 2 ? a 2 ? c2 ? 2ac cos B , 9 ? a ? 4a ? 2a ? 2a cos

?
3



? 3 ,?c ? 2a ? 2 3 .
1 3 3 acsinB ? . 2 2
??????15 分

△ABC 的面积=

17. 已知 a ? (1, ?2), b ? ( x, y) . (Ⅰ) 若 x 是从 ?2, 0,1, 2 四个数中任取的一个数,y 是从 ? 1,0,1 三个数中任取的一个数, 求 a?b 的概率. (Ⅱ)若 x 是从区间 [?1,2] 中任取的一个数, y 是从区间 [ ?1,1] 中任取的一个数,求 a, b 的夹角 是钝角的概率. 解:(Ⅰ)设“ a ? b ”为事件 A ,由 a ? b ,得 x ? 2 y ? 0 2分

? ? {(?2, ?1),(?2,0),(?2,1),(0, ?1),(0,0),(0,1),(1, ?1),(1,0),(1,1),(2, ?1),(2,0),(2,1)} 共 包
含 12 个基本事件; 4 分, 6分

其中 A ? {(?2, ?1),(0,0),(2,1)} ,包含 3 个基本事件. 则 P( A) ?

3 1 ? 12 4

7分

(Ⅱ)设“ a, b 的夹角是钝角”为事件 B ,由 a, b 的夹角是钝角,可得 a ? b ? 0 ,即 x ? 2 y ? 0 且 y ? ?2 x, x ? 0 (注明:后面的条件没有也不扣分,一条直线不影响面积) 9分

? ? {( x, y) | ?1 ? x ? 2, ?1 ? y ? 1}
B ? {( x, y) ?1 ? x ? 2, ?1 ? y ? 1, x ? 2 y ? 0}
11 分
[来源:学科网 ZXXK]

1 3 ? ?3 SB 2 2 3 ? ? 则 P( B) ? S? 3? 2 8
答:(Ⅰ) a ? b 的概率是

14 分

1 3 ;(Ⅱ) a, b 的夹角是钝角的概率是 . 6 8

15 分

18. 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

1 , 且满足 2Sn?1 ? 4Sn ? 1 (n ? N ? ) . 2

(Ⅱ)当1 ? i ? n ,1 ? j ? n ( i, j , n 均为正整数)时,求 ai 和 a j 的所有可能的乘积 ai a j 之和.

解:(Ⅰ)∵ 2Sn?1 ? 4Sn ? 1 (n ? N ? ),?2Sn ? 4Sn?1 ? 1 (n ? 2, n ? N ? ) , 两式相减得 an ?1 ? 2an ,?

2分

an?1 ? 2(n ? 2, n ? N ? ) , an

4分

由 2S2 ? 4S1 ? 1 得 2(a1 ? a2 ) ? 4a1 ? 1 ,又 a1 ? ∴ 数列 ?an ? 是首项为 ∴ an ? 2n?2 .

a 1 ,? a2 ? 1, 2 ? 2 . 2 a1

5分

1 ,公比为 2 的等比数列, 2
7分
i ? j ?4

(Ⅱ)由 a i 和 a j 的所有可能乘积 ai ? a j ? 2 可构成下表

(1 ? i ? n ,1 ? j ? n )

9分

21?1?4 , 21? 2?4 , 21?3?4 , 22?1?4 , 22? 2?4 , 22?3?4 , 23?1?4 , 23? 2?4 , 23?3?4 , 2n ?1?4 , 2n ? 2?4 , 2n?3?4 ,

, 21? n ?4 , 22 ? n ? 4 , 23 ? n ? 4 , 2n? n?4
10 分

1 (1 ? 2n ) 1 4 设上表第一行的和为 T1 ,则 T1 ? ? (2n ? 1) 1? 2 4
2

12 分

1 n 1 ? 2n 1 n (2 ? 1) 2 ? 于是 Tn ? T1 (1 ? 2 ? 2 ? ?+ 2 ) = (2 ? 1) 4 4 1? 2
n ?1

15 分

19.已知函数 f ( x) ? e x ? 2 x ( e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求曲线 f ( x ) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 2 使不等式 f ( x) ? mx 成立,求实数 m 的取值范围. ..x ? ? , 2 ? 解:(Ⅰ) f (0) ? 1 . ?????1 分 ?????2 分 ?????4

?1 ?

? ?

f ?( x) ? ex ? 2 得 f ?(0) ? ?1 ,
所以曲线 f ( x ) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为 y ? ? x ? 1 . (Ⅱ) f ?( x) ? e x ? 2 .
x 令 f ?( x) ? 0 ,即 e ? 2=0 ,解得 x ? ln 2 .

?????6

x ? (?? , ln 2) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (ln 2 , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 的单调递减区间为 (?? , ln 2) ,单调递增区间为 (ln 2 , ? ?) .
?????8

2] 使 f ( x) ? mx 成 立 , 即 ?x ? [ , 2] 使 m ? ( Ⅲ ) 由 题 意 知 ?x ? [ ,
立; ?????10

1 2

1 2

e x ? 2x 成 x

( 所以 m ?

e x ? 2x ) min x

?????12

令 g ( x) ?

ex ( x ? 1)e x ? 2 , g ?( x) ? , x x2
1 2

1] 上单调递减,在 [1 , 所以 g ( x) 在 [ , 2] 上单调递增,
则 g ( x)min ? g (1) ? e ? 2 , 所以 m ? (e ? 2 , ? ?) . ?????14 分 ?????15 分



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