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例析导数综合题


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上海中学数学 ? 2 0 0 5年第 5期 

例析导数综合题 
2 1 1 6 0 0   江苏省金 湖县教师进修 学校
在新教材中, 由于导数 内容 的加入 , 使得高  中数学解题增 添 了新 的活力 , 使很 多题 型有 了  


徐加生 

f (   ) 在点 p ( x o , f ( X O ) ) 处切线的倾斜角 的  

新的解题思路 , 导数 的应用更显活跃. 导数除了   解决切线的斜率, 判断函数 的单调性 , 求 函数单 
调区间及求 函数 的极值与最值 等问题外 , 也常  用在求参数或参数范围, 求不等式问题、 解析几 

取 值 范 围 为   I o , { I , 则 点 P 到 直 线   一 厂 (   ) 对  
称轴距离 的取值范围(   )  

A . [ o ' 丢 ]   B . [ o ,   1 ]  

何问题 以及 数列 、 向量 、 三角 等方面 , 下 面举 导 

数与其他知识综合应用的例题, 以展示导数的  
工具作用.  


c . [ 。 ,   b ]  。 . E 0 , I   b 百 - 1 } ]  
分析: 由于t a n 口 一点 一/(   0 ) =2 a x 0 +6 ,  



用导数求参数或参数范围 

又 。 E   l   o , { I ,  
?
? ?

例1   已知 函数 厂 (   ) =   一a x +1 是 R上  的单调增函数 , 求 a的取值范围.  

o ≤ 2   。 + 6 ≤ 1 即 o ≤   。 + 麦 ≤  

分析: 由于/(   ) 一e z —a , 又厂 (  ) 在 R上  是单调增函数, 同/(   ) 一  一A>O恒成立, 即  
a <  恒成立 , 而e x >O , 故口 ≤O 为所求.  

则 d — I   。 +   I ∈ [ 。 ,   ] , 即 选 c B   .  
例 4 在抛物线 0 —2  上 求一点 P, 使点  
P到直线 1 : y =x +4 距离最小.  

例 2 已知函数 厂 (   ) =  。 +C 且f E f ( x ) ]  


分析 : 此处是二 次曲线 , 并非 为 函数问题 ,  
但可转化. 将直线 1 平移使之与抛物线相切 , 切  点为 P, 可知点 P必在抛物线上半支上 , 即在 函   数3 , =  
? . .

f ( x 。 +1 ) ①求 g ( z ) 一f E f ( x )  ̄ 的表达式 , ② 

设q (   ) 一g ( z ) 一   厂 (  ) , 试 问是 否存 在实数 ,  
使q (   ) 在( 一o o , 一1 ) 上是减函数 , 且在( 一1 , 0 )   上是增 函数.  

的图象上 , 设P ( x o , 3 , o ) ,  

分析 : 由   厂 ( z ) ] =f ( x 。 +f ) 一f ( x 。 +1 )  
=   f   1  

五 =  I  =勘 =, / g? z  1 —1  

得 o 一2 , y o 一2 , . 。 .p ( 2 , 2 ) 为所求。  
三、 导数与不等 式综合 

即 厂(  ) 一 0 +1   g( z ) 一(   +1 ) 0 +1  
=z   +2 z0 + 2,  

.   .q (  ) =   +( 2 一  )  0 +2 一  ,  

例5   已知 口 > 0函数 f(  ) :— 1 m — a x
,  

则q   (   ) 一4 x 3 +2 ( 2 -2 ) x ,   由于 q ( z ) 在( 一o o , 一1 ) 上是减 函数 ,  
。 . .

E( 0 , +o 。 ) 设o <  1 <  设曲线 一厂 (   ) 在点   a

2 ( 2 一 )  +4 x 3 < 0在 ( 一o 。 , 一1 ) 上 恒 

成立 ,  

M( x a , f ( x 1 ) ) 的切线 为 1 , 若1 与  轴交 于点  

即2 一   >一2   0 恒成立, 即. 。 . 2 一   ≥一2 ,   即  ≤4 .又 q (   ) 在( 一1 , O ) 上是增 函数 ,   同理 2 一   <一2   0 在( 一1 , O ) 上恒成立 ,  
。 .


(  o ) 证 明 o <   2 ≤ ÷ .  
分析: 由 /(   ) =一   1
,  

2 一   ≤一2 , 即  ≥4 符合题意.  

则 M 点处的切线 1的方程为  —  
1(   — 1 ) ,  

翌一  

二、 导数与解析几何综合 
一  

例3 设 口 >0 , , (  ) =口   。 +b x +C , 曲线 

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解 法 探 微 
令  一0得 x 2 一X l ( 1 一a x 1 ) +X l —X l ( 2 一 
n 

氍   4 5  

令   z ) : { 一 +   一 3 z ,  
则 /( z ) =  +2 x -3 ,   令 /( z ) 一 。 得z 一一3 或x =l ,   当x E( -4 , -3 ) 时/( z ) >o ,  
当x E( 一3 , 1 ) 时  z ) <O ,  

a x1 ) , 又 O <X l <_ 竺 I ,  
“ 

则2 一a x l >O , 故X 2 >O , 在X 2 —2 x l —a x l   2  

中对 X l 求导数 , 则x   2 —2 —2 a x l ,  
令z , 2 —0 得X l —一 1
,  

当x E[ - a , 4 ] 时/( z ) >o ,  
且当 o <z l <  时 , z , 2 >o ,   当  <z l <  时 , z , 2 <o ,  

故  z ) 在x = l 处 取 极 小 值 为  1 ) 一 一 昔,  

又   一 4 ) 一   , 厂 ( 4 ) 一 萼 ,  
,  

所以当z   一   时, z   取最大值上
故有 o <X 2 ≤  成立.  

故  z ) = x E [ 一 4 , 4 ] 上 的 最 小 值 为 一 昔, 此  
时z 一1 ,  
? .

.  



四、导数与 三角 综合  例6   已知当 X ∈[ O , 1 ] 时, 不等式 X   c o s O  
+z ( z 一1 ) +( 1 一z ) 2   s i n O >O恒成立, 求  的取 
值 范围.  
解: 厂 ( z ) 一x   c o s O +z ( z 一1 ) +( 1 一z )   s i n O   故  ( s i n O +c o s O +1 ) X 2 一( 1 +2 s i n O ) X +s i n O 依 题 
又  ( z) 一2 x ( s i n O +c o s O +1 ) 一1—2 s i n O ,  

( { , 1 ) ,   一 ( 1 , 一 2 ) ,  
√  
— —  

2’  

可 得  莩 .  
六、导数 与数列 的综合 
例8   已 知 二 次 函数  — f ( X ) 经过 点  



意, 只需令 厂 ( z ) 的最小值大于零 即可.  

令 厂( z ) 一 。 得z 一   1 +   2   s i n O

,  

( o , l O ) 且导数 厂( z ) 一2 x 一5 , 当X ∈(  ,  +1 ]  

而 f( X)的 最 / 1 , 值 只能在 0 , 1 或  =  

l f 莩   的表达式.  

( n GN  ) 时, 厂 ( z ) 是整数 的个 数记为 n   , 求n  
分析 : 由于导数  ( z ) 一2 x 一5 , 可设二 次 

丰   处 取 得 .  
故令 厂 ( O ) >O ,  

z ) 一z   —5 x +c ,   音  函数 厂(

且  ) > o 且 厂 (  
条件的不等式组 ,  
得2 k 7 c +  <  <2 愚 7 c +  ( 愚 ∈z )  

) > o  

又厂 ( z ) 图象经过( O , 1 , O ) , . . .c —l O ,  

得 s i n   。 且 c 。 s 0 > 0 且 s i n 2   > 专 解 符 合  

即   X 2 - 5 x + 1 0 = ( z 一 号 )   +   ,  
又因 x E[   ,  +1 ] (  ∈N  ) 时, 厂 ( z ) 的值  为整数的个数为 n   ,   则当 x E( 1 , 2 ) 时, 厂 ( z ) 值域为[ 4 , 6 ] ,  
’ . .

a l 一 2.  

五、导数与向量综合 

当 z ∈ ( 2 , 3 ) 时 , 厂 ( z ) 的 值 域 为 『   , 4 ] ,  


例 7已 知 向 量   一 ( : 等 , z ) ,   一 ( z , z 一 3 )   单调递增 , 其值域( 厂 (   ) , 厂 (   +1 ) ] ,  
. .

a 2 —1 而当  ≥3 时, 厂 ( z ) 在(   ,   +1 ) 上 

z ∈[ 一4 , 4 ] 求当  ?  取最小值 时, 此时向量  与  向量  夹角的大小.  

- . .n   一f ( n +1 ) 一厂 (  ) 一2 n 一4  

解 :  一 丢   + z ( z 一 3 ) 一 {   +   一 3 z ,  



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