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点到直线的距离和两条平行直线间的距离


点到直线的距离和两条平行直线间的距离

问题: 0 已知点 P (-1,2)和直线 l:2 x ? y ? 10 ? ,
求点 P到直线

l 的距离.

解:设过点P和直线 l 垂直的直线PQ方程为 y

1 y ? 2 ? ( x ? 1) 2
? PQ:x ? 2 y ?

5 ? 0 .

Q P . O x

?2 x ? y ? 10 ? 0 ?x ? 3 解方程组 ? ?? ?x ? 2y ? 5 ? 0 ?y ? 4

∴ Q(3,4)

∴点P到直线 l 的距离为 | PQ | ? ( 3 ? 1) 2 ? (4 ? 2) 2 ? 2 5 . 如果把问题一般化就有如下问题:

问题:
P?x0,y0 ?和直线 已知:

Ax ? By ? C ? 0 l:

( P 不在直线 直线

l

上,且 A ? 0,B ? 0 ),试求 P 点到

l 的距离.
分析1:要求 PQ 的长度

可以象上一个问题的解法一样, 利用两点的距离公式可以求 PQ 的长度.

这种解法好不好,为什么?

问题:
分析2:如果 PQ 垂直坐标
轴,则交点和距离都容易求出, 那么不妨做出与坐标轴垂直的线 段 PS 和 PR ,如图所示,显然 相对而言 PS 和 PR 好求一些.

点到直线的距离
已知点P的坐标为(x0, y0),直线l 的方程 是 Ax+B y +C=0,怎样求点P到直线l 的距离?
设A≠0,B≠0,这时l与x轴、 y轴都相交。过P 作x轴的平行线, 交l于点 R(x1, y0) ;作y轴的平行 线,交l于点 S(x0, y2). 由 A x1+B y0 +C=0 A x0+B y2 +C=0 得

? By0 ? C ? Ax0 ? C x1 ? , y2 ? . A B

? By0 ? C ? Ax0 ? C x1 ? , y2 ? . A B 所以, Ax0 ? By0 ? C PR ? x0 ? x1 ? , A
Ax0 ? By0 ? C PS ? y0 ? y2 ? , B
RS ? PR 2 ? PS 2 ?

A2 ? B 2 ? Ax0 ? By0 ? C . A? B

由三角形面积公式可知:d· ∣RS∣=∣PR∣?∣PS∣ 所以, d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

.

可证,当A=0或B=0时,以上 公式仍适用。于是得到距离 公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

注意:先把直线方程化为一般式,再用公式 .

例1 求点P0(-1, 2)到下列直线的距离 (1) 2 x+ y -10=0; (2) 3 x=2。

解:(1) 由点到直线的距离公式 ,得
d? 2 ? ( ?1) ? 2 ? 10
2 2

2 ?1 2 ( 2) ? 直 线 x ? 平 行 于 y 轴 , 3
2 5 ? d ?| ? ( ?1) | ? 3 3

10 ?2 5 ? 5

解:设AB边上的高为h
1 S ? | AB | h 2
| AB |? (3 ? 1) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2

P107 :例6

y 3 2 1

A (1,3)

k AB

3 ?1 ? ? ?1 1? 3

h
1 2

B (3,1)

AB的方程为:

y ? 3 ? ?1? ( x ? 1)
化为一般式:

-1 O C (-1,0)

3 x

x? y?4 ?0

h?

| ?1 ? 0 ? 4 | 12 ? 12

1 5 S ? ?2 2? ?5 2 2

例2 求平行直线 2x-7y +8=0和 2x-7y -6=0的距离。

在直线 2 x ? 7 y ? 6 ? 0 上取一点 解:

y

P(3 , 0)
则 P (3 , 0) 到 直 线2 x ? 7 y ? 8 ? 0 的距离就是两平行线的 间 距 离.
?d? 2? 3 ? 7? 0 ? 8 2 2 ? ( ?7 ) 2 ?

o

P

x

14 14 53 ? ? . 53 53 2 2 ? ( ?7 ) 2

6?8

想一想: 是否可以在直线2 x ? 7 y ? 6 ? 0 上任取一点

P( x , y ) 来求距离?

另解: 在直线 2 x ? 7 y ? 6 ? 0 上任取一点 P( x0 , y0 )
则 P ( x0 , y0 ) 到直线2 x ? 7 y ? 8 ? 0 的距离就是两平行线间 的距离.
? d? 2 x 0 ? 7 y0 ? 8 2 ? ( ?7 )
2 2

y

o P

x

? 2 x0 ? 7 y0 ? 6 ? 0 ? 2 x0 ? 7 y0 ? 6
? d?

14 14 53 ? . ? 53 53 2 2 ? ( ?7 ) 2

6?8

两平行线l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , 再想一想: l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 之间的距离 d ??

在直线l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 上任取一点 P( x0 , y0 ) 证明:
则 P ( x0 , y0 ) 到直线l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 的距离就是两平行线间 的距离.

y

?d?

Ax0 ? By0 ? C2
2 2

A ?B ? Ax0 ? By0 ? C1 ? 0 ? Ax0 ? By0 ? ?C1

o P

x

?d?

| C 2 ? C1 | A2 ? B 2

注意:两直线的一次项系数完全相同, 若不同,需变成系数完全相同时再用.

点到直线的距离公式:
已知点P的坐标为(x0, y0),直线l 的方程 是Ax+B y +C=0,则点P到直线l 的距离为:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

平行线间的距离公式: 设两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 之间的距离为 d, 则d?

y
l1
d

l2

| C 2 ? C1 | A2 ? B 2

o

x

练习: 1. 求原点到下列直线的距离: (1) 3 x ? 2 y ? 26 ? 0 ; (2) x ? y.
2. 求下列点到直线的距离:
(1) A( ?2 , 3) , 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 ; ( 2) B(1, 0) , 3 x ? y ? 3 ? 0 ; ( 3) C (1, ? 2) , 4 x ? 3 y ? 0 .

(1) 2 13 ; (2) 0 .
9 (1) ; 5 ( 2) 0 ; 2 ( 3) . 5

3. 求下列两条平行线的距离:

(1) 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ,2 x ? 3 y ? 18 ? 0 ; (1) 2 13 ; (2) 3x ? 4 y ? 10 , 6 x ? 8 y ? 0. (2) 2 .

例3 直线 l 过3 x ? 4 y ? 5 ? 0 和 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的交点,且与
? x ? ?1 ?3 x ? 4 y ? 5 ? 0 解得: 由方程组 ? ? ?y ? 2 ?2 x ? 3 y ? 8 ? 0 .B ? 两直线的交点为 C(? 1, 2 )
设 l 方程为: y ? 2 ? k( x ? 1) 即 kx ? y ? (k ? 2) ? 0 则由题意

A( 2, 3 ),B(? 4 , 5 )两点的距离相等,求 直线 l 的方程。

解:

y

. . C
M

.
o

A
x

2k ? 3 ? k ? 2 k ?1
2

?

? 4k ? 5 ? k ? 2 k2 ? 1

1 即 3k ? 1 ? 3k ? 3 解 得 : k?? . 3 1 ? l:y ? 2 ? ? ( x ? 1) 即 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 3

.B

y

. . C
M

.
o

A
x

又当l ? x 轴时, l:x ? ?1 都是 3 . 此时A( 2, 3 ) , B(? 4, 5 )到l: x ? ?1 的距离
故所求直线 l :x ? 3 y ? 5 ? 0 或 x ? ?1 .

例3 直线 l 过3 x ? 4 y ? 5 ? 0 和 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的交点,且与
解2:
? x ? ?1 ?3 x ? 4 y ? 5 ? 0 解得: 由方程组 ? ? ?y ? 2 ?2 x ? 3 y ? 8 ? 0 .B ? 两直线的交点为 C(? 1, 2 )

A( 2, 3 ),B(? 4 , 5 )两点的距离相等,求 直线 l 的方程。

y

. A ①当直线 l // 直线AB 时, 1 5? 3 ?? kl ? k AB ? o 3 ?4? 2 1 ? l:y ? 2 ? ? ( x ? 1) 即 x ? 3 y ? 5 ? 0 . 3 ②当直线 l 过线段AB的中点M(-1 ,4)时, l:x ? ?1
M

. . C

x

所求直线l :x ? 3 y ? 5 ? 0 或 x ? ?1 . 综上所述:

例3 直线 l 过3 x ? 4 y ? 5 ? 0 和 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 的交点,且与
解3:设直线 l 的方程为:
3 x ? 4 y ? 5 ? ? ( 2 x ? 3 y ? 8) ? 0


A( 2, 3 ),B(? 4 , 5 )两点的距离相等,求 直线 l 的方程。

(2? ? 3) x ? (4 ? 3? ) y ? 8? ? 5 ? 0

由已知得 | ( 2? ? 3)2 ? (4 ? 3? )3 ? 8? ? 5 |
2 2

?

( 2? ? 3) ? (4 ? 3? ) | ( 2? ? 3)(?4) ? (4 ? 3? )5 ? 8? ? 5 |

( 2? ? 3)2 ? (4 ? 3? )2

5 4 即 | 3? ? 13 |?| ?15? ? 3 | 解得 ? ? ? 或 . 9 3

故所求直线 l :x ? 3 y ? 5 ? 0 或 x ? ?1 .

5 的直线方程。 例4.与直线x ? 2 y ? 1 ? 0 平行且距离为
解: 设与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0平行的直线 l:x ? 2 y ? C ? 0
则由两平行线间的距离 公式,有

| C ? ( ?1) | 1 ?2
2 2

? 5 ? C ?1 ? 5 5

? C ? 5 5 ? 1或C ? ?5 5 ? 1

故所求直线 l:x ? 2 y ? 5 5 ? 1 ? 0或x ? 2 y ? 5 5 ? 1 ? 0

点到直线的距离公式:
已知点P的坐标为(x0, y0),直线l 的方程 是Ax+B y +C=0,则点P到直线l 的距离为:

d?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

平行线间的距离公式: 设两平行线 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 , l 2 : Ax ? By ? C 2 ? 0 之间的距离为 d, 则d?

y
l1
d

l2

| C 2 ? C1 | A2 ? B 2

o

x

交 点 设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0,

l2: A2x+B2 y +C2=0.
这两条直线是否有交点 方程组

?

A1x+B1 y +C1=0, 是否有唯一解。 A2x+B2 y +C2=0.

说明:若方程组有唯一解,则直线l1 与 l2 相交 ;
若方程组有无数解,则直线l1 与 l2 重合 ; 若方程组无解,则直线l1 与 l2 平行 。

方程组:

A1x+B1 y +C1=0, A2x+B2 y +C2=0.
A1 B1 ? l1 、 l2 相交 ? 方程组唯一解 ? A B 2 2 ( A B ? 0)
A1 B1 C1 ? l1 、 l2 重合 ? ? 方程组无穷多解 ? A2 B2 C 2
2 2

A1 B1 C1 ? l1 、 l2 平行 ? ? 方程组无解 ? A2 B2 C 2
( A2 B2C2 ? 0)

( A2 B2C2 ? 0)

预备知识:方向向量和法向量 对于直线 l: Ax+B y +C=0 (A≠0,B≠0)
如果向量 m 与直线l平行, 则称向量 m 为直线l的方向向量. A B ? (1 , k ) ? B ? (1 , ? ) ? ( B , ? A),m ? ( B , ? A). 可表示为: B 如果向量 n 与直线l垂直, 则称向量 n 为直线l的法向量. 可表示为: n ? ( A , B).
n
P2

y
m
P1

l

0

x

点到直线的距离

已知点P的坐标为(x0, y0),直线l 的方程 是 Ax+B y +C=0,怎样求点P到直线l 的距离?
则|PQ|为所求. 过点P做直线 l 垂线PQ, 解: 设直线l的法向量为 n , Q( x1 , y1 ) ,

则 n ? ( A , B) ( A ? 0 , B ? 0)

? n // PQ ? PQ ? ? n
即 ( x1 ? x0 , y1 ? y0 ) ? ? ( A , B)
? x1 ? x0 ? ?A ? x1 ? x0 ? ?A 即? ?? ? y1 ? y0 ? ?B ? y1 ? y0 ? ?B

代入直线l的方程得 A( x0 ? ?A) ? B( y0 ? ?B) ? C ? 0

Ax 0 ? By0 ? C 解得 ? ? ? A2 ? B 2

? PQ ? ? n ? | PQ | ? | ? n | ? | ? | ? | n |
Ax0 ? By0 ? C 2 2 ?|? | ? A ? B A2 ? B 2 | Ax0 ? By0 ? C | ( A ? 0 , B ? 0) ?d? A2 ? B 2 | By0 ? C | C C . y?? , d ? | y0 ? ( ? ) | ? 当A ? 0 , B ? 0 时, 直线l: |B| B B C C | Ax0 ? C | x?? , d ? | x0 ? ( ? ) | ? . 当A ? 0 , B ? 0 时, 直线l: A A | A|

因此,当A=0或B=0时, 以上公式仍适用。于是得到 点到直线的距离公式:

d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

注意:
先把直线方程化为一般式:Ax+By+C=0,再用公式 .

3)且被两条平 行直线: 3x ? 4 y ? 7 ? 0 例3. 求经过点P ( 2 , 和 3 x ? 4 y ? 3 ? 0 截得的线段长为 5的直线方程。

解: 如图
| AC |? | ?7 ? 3 |
2 2

y

?

3 ?4 | AB |? 5

? 2? 5
B

5 A

P .
o x

tan?ABC ? 2 . ? 在Rt?ABC中 | BC | ? 1,

C

设所求直线斜率为 k 3 k ? (? ) 1 11 4 则 ? 2? k ? 或k ? 3 2 2 1 ? (? ) ? k 4 故所求直线方程为: x ? 2 y ? 4 ? 0或11x ? 2 y ? 16 ? 0.


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