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2015高三文数第一轮复习导学案:直线、平面垂直的判定和性质


直线、平面垂直的判定和性质
导学目标:
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.

一、知识点回顾
1.线线垂直 判断线线垂直的方法: 所成的角是直角, 两直线垂直; 垂直于平行线中的一条, 必______于另

一条. 2.线面垂直 定义:如果一条直线 l 和一个平面 α 相交,并且和平面 α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 l 和平面 α 互相______,其中直线 l 叫做平面的______,平面 α 叫做直线 l 的垂面,直线与平面的交点 叫做垂足.直线 l 与平面 α 垂直记作 l⊥α. (1)直线与平面垂直的判定定理:

判 定 定 理
推论:

文字语言 一 条 直线 与一 个平 面内 的 都垂直,则 该直线与此平面垂直 文字语言

图形语言

符号语言

图形语言

符号语言

推 论

如果在两条平行直线中, 有一 条垂直于平面, 那么另一条直 线也 这个平面

(2)直线和平面垂直的性质: ①直线垂直于平面,则垂直于平面内______直线. ②垂直于同一个平面的两条直线______. ③垂直于同一直线的两个平面________.

3、面面垂直
(1)面面垂直的判定定理

判 定 定 理

文字语言 一个平面过另一个平面 的 ,则这两个平 面垂直 文字语言

图形语言

符号语言

(2)面面垂直的性质

图形语言

符号语言

性 质 定 理

两个平面垂直, 则一个平面 内垂直于 的直 线与另一个平面垂直

4、直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面内的________所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 一直线垂直于平面,说它们所成角为________;直线 l∥α 或 l?α,则它们成________角. 5、二面角的平面角 以二面角棱上的任一点为端点, 在两个半平面内分别作与棱________的射线, 则两射线所成的角叫 做二面角的平面角.

二、典型例题 题型一:线面垂直的判定与性质 例 1:如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC, E 是 PC 的中点. 证明:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面 ABE.

变式1:如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB,PC的中点,若∠PDA=45°。求证:MN ⊥平面PCD.

:变式 2:如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1= 2,D 是 A1B1 的中点. (1)求证:C1D⊥平面 AA1B1B; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时, 会使得 AB1⊥平面 C1DF?并证明你的结论.

题型二:面面垂直的判定定理 例 2:如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,A1B1=A1C1,D,E 分别是棱 BC,CC1 上的点(点 D 不同于点 C), 且 AD⊥DE,F 为 B1C1 的中点. 求证:(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1;(2)直线 A1F∥平面 ADE.

变式 1:如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F 分别是 AP, AD 的中点.求证:(1)直线 EF∥平面 PCD;(2)平面 BEF⊥平面 PAD.

变式 2:如图所示,已知 AB⊥平面 ACD,DE∥AB,AD=AC=DE=2AB=2 且 F 是 CD 的中点.AF= 3. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE; (3)求直线 CE 与平面 ADEB 所成的角的正切值.

题型三:面面垂直的性质 例 1:在四棱锥 V—ABCD 中,底面 ABCD 是正 方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD. 证明:AB⊥VD.

变式:如图,已知 ABCD 是矩形,E 是以 CD 为直径的半圆周上一点,且面 CDE⊥面 ABCD. 求证:CE⊥平面 ADE。

题型四:综合应用 例 3:如图所示,在锥体 P-ABCD 中,ABCD 是边长为 1 的菱形且∠DBA=60°,PA=PD= 2,PB=2,E, F 分别是 BC,PC 的中点. (1)求证:AD⊥平面 DEF;(2)求二面角 P-AD-B 的平面角的余弦值.

变式:如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已知 BD =2AD=8,AB=2DC=4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点,求证:平面 MBD⊥平面 PAD;(2)求四棱锥 P—ABCD 的体 积.

练习: 1.平面 α⊥平面 β 的一个充分条件是( ) A.存在一条直线 l,l⊥α,l⊥β B.存在一个平面 γ,γ∥α,γ∥β C.存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β D.存在一条直线 l,l⊥α,l∥β 2.(2010· 浙江)设 l,m 是两 条不同的直线,α 是一个平面,则下列命题正确的是( ) A.若 l⊥m,m?α,则 l⊥α B.若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α C.若 l∥α,m?α,则 l∥m D.若 l∥α,m∥α,则 l∥m 3.(2011· 长沙模拟)对于不重合的两个平面 α 与 β,给定下列条件: ①存在平面 γ,使得 α,β 都垂直于 γ; ②存在平面 γ,使得 α,β 都平行于 γ; ③存在直线 l?α,直线 m?β,使得 l∥m; ④存在异面直线 l、m,使得 l∥α,l∥β,m∥α,m∥β. 其中,可以判定 α 与 β 平行的条件有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.(2011· 十堰月考)已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 α⊥γ,β⊥γ,则 α∥β C.若 m∥α,m∥β,则 α∥β D.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n 5.(2011· 滨州月考)已知直线 a,b 和平面 α,β,且 a⊥α,b⊥β,那么 α⊥β 是 a⊥b 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知两个不同的平面 α、β 和两条不重合的直线 m、n,有下列四个命题: ①若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α;②若 m⊥α,m⊥β,则 α∥β;③若 m⊥α,m∥n,n?β,则 α⊥β; ④若 m∥α,α∩β=n,则 m∥n.其中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.设 α,β,γ 是三 个不重合的平面,l 是直线,给出下列四个命题: ①若 α⊥β,l⊥β,则 l∥α;②若 l⊥α,l∥β,则 α⊥β;③若 l 上有两点到 α 的距离相等,则 l∥α; ④若 α⊥β,α∥γ,则 γ⊥β.其中正确命题的序号是( ) A.①② B.①④ C.②④ D.③④ 8.(2011· 浙江)下列命题中错误的是( ) A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 9.平面 α 的斜线 AB 交 α 于点 B,过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直,且交 α 于点 C,则动点 C 的轨迹 是( ) A.一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支 10.如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,侧棱 PA=a,PB =PD= 2a,则它的 5 个面中,互相垂直的面有________对. 11、Rt△ABC 所在平面外一点 S,且 SA=SB=SC,D 为斜边 AC 的中点. (1)求证:SD⊥平面 ABC;(2)若 AB=BC.求证:BD⊥平面 SAC.


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