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空间几何体与三视图、体积和表面积


中小学 1 对 1 课外辅导专家

龙文教育学科老师个性化教案
教师 学科 黄刚 数学 学生姓名 年级 王嘉玮 高一 课时数量
(全程或具体时间)

上课日期 教材版本

2014 年 8 月 23 日 人教 A 版

学案主题

复习巩固课

/>第( 6 )课时

授课时段

15:00--17:00

教学目标

教学内容 个性化学习问题 解决

空间几何体与三视图、体积和表面积 认识空间几何体的基本特征 三视图、体积和表面积

教学重 认识空间几何体的基本特征,培养空间想象能力、体积和表面积 点、难点 三视图与几何体还原

1.多面体的结构特征 底面:互相平行 ? ? (1)棱柱?侧面:都是四边形,且每相邻两个面的交线都 ? ? 平行且相等
? ?底面:是多边形 (2)棱锥? ?侧面:都是有一个公共顶点的三角形 ?

(3)棱台 棱锥被平行于棱锥底面的平面所截,截面与底面之间的部分. 2.旋转体的形成 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 一条直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线

3.直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则: ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′轴、y′轴的夹角为 45° (或 135° ),z′轴与 x′轴和 y′轴 所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

4.三视图
1

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何 体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 ①基本要求:长对正,高平齐,宽相等. ②画法规则:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的线画虚线

1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点. 2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同. 3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图中,易忽视实虚线的画 法. [试一试] 1.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )

图1

2.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之 比为 1∶16,截去的圆锥的母线长是 3 cm,则圆台的母线长为________ cm. 答案:9

1.由三视图还原几何体的方法
2

中小学 1 对 1 课外辅导专家 定底面 根据俯视图确定

定棱及侧面

根据正视图确定几何体的侧棱与侧面 特征,调整实线、虚线对应棱的位置

定形状

确定几何体的形状

2.斜二测画法中的“三变”与“三不变” 坐标轴的夹角改变, ? ? “三变”?与y轴平行的线段的长度变为原来的一半, ? ?图形改变. 平行性不改变, ? ? “三不变”?与x,z轴平行的线段的长度不改变, ? ?相对位置不改变. 3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系 S 直观图= 2 S ,S 原图形=2 2S 直观图. 4 原图形

4.转化与化归思想 利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题 由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的,所以在 解决棱台和圆台的相关问题时,常“还台为锥”,体现了转化的数学思想.

[练一练] 1.如图是两个全等的正三角形,给定下列三个命题:①存在四棱锥,其正视图、侧视图如图;②存在三棱锥, 其正视图、侧视图如图;③存在圆锥,其正视图、侧视图如图.其中真命题的个数是( )

A.3 C .1 解析:选 A

B.2 D.0

2.已知正三角形 ABC 的边长为 2,那么△ABC 的直观图△A′B′C′的面积为________. 答案: 6 4
3

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考点一

空间几何体的结构特征

1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( A.圆柱 C.球体 解析:选 C B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体

)

2.下列结论正确的是(

)

A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

解析:选 D

3.设有以下四个命题: ①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体; ②底面是矩形的平行六面体是长方体; ③直四棱柱是直平行六面体; ④棱台的相对侧棱延长后必交于一点. 其中真命题的序号是________. 答案:①④ [类题通法] 解决此类题目需准确理解定义,把握几何体的结构特征,并学会通过反例对概念进行辨析,即要说明一个命题 是错误的,设法举出反例否定即可.

考点二

几何体的三视图

[典例] (2013· 四川高考)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观

图可以是(

)

4

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[答案] D [类题通法] 根据几何体画三视图,要严格按以下几点执行 (1)三视图的安排位置,正视图、侧视图分别放在左右两边,俯视图在正视图的下边. (2)注意实虚线的区别. [针对训练] 1.(2014· 山西模拟)如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA1⊥平面 A1B1C1,正视图是边 长为 2 的正方形,该三棱柱的侧视图的面积为( )

A.4 C .2 2 解析:选 B .

B.2 3 D. 3

2.(2014· 吉林质检)已知某组合体的正视图与侧视图相同,如图所示,其中 AB=AC,四边形 BCDE 为矩形,则 该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上).

答案:①②③④

考点三

几何体的直观图

[典例] 如图所示,△A′B′C′是△ABC 的直观图,且△A′B′C′是边长为 a 的正三 角形,求△ABC 的面积.

5

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[类题通法] 对于几何体的直观图,除掌握斜二测画法外,记住原图形面积 S 与直观 的关系 S′= 2 S,能更快捷地进行相关问题的计算. 4 图面积 S′之间

[针对训练] 等腰梯形 ABCD,上底 CD=1,腰 AD=CB= 2,下底 AB=3,以下底所在直线为 x 轴,则由斜二测画法画出 的直观图 A′B′C′D′的面积为________. 答案: 2 2

[课下提升考能] 第Ⅰ组:全员必做题 1.(2014· 青岛模拟)将长方体截去一个四棱锥后,得到的几何体的直观图如右图所示,则该几何体的俯视图为( )

解析:选 C

2.三视图如图所示的几何体是(

)

A.三棱锥 C.四棱台 解析:选 B

B.四棱锥 D.三棱台

3.(2013· 郑州模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是(

)

6

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解析:选 C

4、.(2014· 江西九校联考)如图,三棱锥 V ABC 的底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA=VC,已知其正视图 2 的面积为 ,则其侧视图的面积为( 3 A. C. 3 2 3 4 ) B. D. 3 3 3 6

解析:选 B

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱 侧面 展开图 侧面 积公式

圆锥

圆台

S 圆柱侧=2πrl

S 圆锥侧=πrl

S 圆台侧= π(r+r′)l

2.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 柱体 (棱柱和圆柱) 锥体 (棱锥和圆锥) 台体 (棱台和圆台) 球 表面积 体积

S 表面积=S 侧+2S 底

V=Sh 1 V= Sh 3 1 V= (S 上+S 下+ 3 S上S下)h

S 表面积=S 侧+S 底

S 表面积=S 侧+S 上+S 下

S=4πR2

4 V= πR3 3

1.求组合体的表面积时:组合体的衔接部分的面积问题易出错.
7

中小学 1 对 1 课外辅导专家 2. 由三视图计算几何体的表面积与体积时, 由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误. 3.易混侧面积与表面积的概念. [试一试] 1.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )

A.( 13+2)π(cm2) C.6+( 13+2)π(cm2) 解析:选 C

B.4+( 13+2)π(cm2) D.8+( 13+2)π(cm2)

2.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则该几何体的体积为( A. 3 3 B.1 D. 3

)

2 3 C. 3

解析:选 A

3.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的表面积是________.

答案:72+16 2

1.求空间几何体体积的常用方法 (1)公式法:直接根据相关的体积公式计算.
8

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (2)等积法:根据体积计算公式, 通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易, 或是求出一些体积比等. (3)割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体. 2.几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R, ①正方体的外接球,则 2R= 3a; ②正方体的内切球,则 2R=a; ③球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a. (2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a,b,c,外接球的半径为 R,则 2R= a2+b2+c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1. 3.旋转体侧面积问题中的转化思想 计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决,因 此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. [练一练]1.(2014· 皖南八校联考)已知某几何体的侧视图与其正视图相同,相关的尺寸如图所示,则这个几何体 的体积是( A.8π C.2π 解析:选 D 2.(2013· 福建高考)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体,如 正视图、侧视图、俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积 是________. 果该组合体的 ) B.7π 7π D. 4

答案:12π

考点一

几何体的表面积

1.(2013· 重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)

A.180

B.200
9

中小学 1 对 1 课外辅导专家 C.220 解析:选 D 2.(2013· 陕西高考改编)某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________. D.240

答案:3π 3.(2014· 江西八校联考)若一个圆台的正视图如图所示,则其表面积等于________. 答案:5π+3 5π [类题通法] 以三视图为载体的几何体的表面积问题的求法 (1)恰当分析给出的三视图. (2)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系. (3)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理.

考点二

几何体的体积

[典例] (1)如图所示,已知三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长均为 1,且 AA1⊥底面 ABC,则三棱锥 B1 ABC1 的体积为 ( ) A. C. 3 12 6 12 B. D. 3 4 6 4 )

(2)(2013· 新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.16+8π C.16+16π [答案] (1)A (2)A [类题通法]

B.8+8π D.8+16π

求解几何体体积的策略及注意问题 (1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系.
10

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高. (3)注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方 法,应熟练掌握. (4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征.

[针对训练] (2014· 绍兴模拟)已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体 积是________.

解析:根据三视图,我们先画出其几何直观图,几何体由正方体切割而成,即正方体截去一个棱台.如图 1 所 1 1 1 1 7 7 17 示,把棱台补成锥体如图 2,V 棱台=2×2× ×4× -1×1× ×2× = ,故所求几何体的体积 V=23- = . 2 3 2 3 3 3 3

17 答案: 3

考点三

与球有关的切、接问题

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中小学 1 对 1 课外辅导专家

与球相关的切、接问题是高考命题的热点,也是考生的难点、易失分点.命题角度多变.归纳 起来常见的命题角度有: ?1?直三棱柱的外接球; ?2?正?长?方体的外接球; ?3?正四面体的内切球; ?4?四棱锥的外接球; ?5?正三棱柱的内切球.? 角度一 直三棱柱的外接球 1.(2013· 辽宁高考)已知直三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=3,AC=4,AB⊥AC, AA1=12,则球 O 的半径为( 3 17 A. 2 13 C. 2 解析:选 C ) B.2 10 D.3 10 、

角度二 正方体的外接球 2.(2013· 合肥模拟)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为 2 的 正方形),则该几何体外接球的体积为________. 答案:4 3π 角度三 正四面体的内切球 S1 3.(2014· 长春模拟)若一个正四面体的表面积为 S1,其内切球的表面积为 S2,则 =________. S2 6 3 答案: π 角度四 四棱锥的外接球 4.四棱锥 PABCD 的五个顶点都在一个球面上,该四棱锥的三视图如图所示,E,F 分别是棱 AB,CD 的中点, 直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2,则该球的表面积为( )

A.9π

B.3π
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中小学 1 对 1 课外辅导专家 C.2 2π 解析:选 D D.12π

[类题通法] 解决与球有关的切、接问题的方法 (1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的 关系. (2)若球面上四点 P,A,B,C 中 PA,PB,PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,可构造长方体或正方体 确定直径解决外接问题.

、 课堂练习 课后作业 另附 另附 本节课教学计划完成情况:照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ ____________________________ 学生的接受程度: 5 4 3 2 1 ______________________________ 学生的课堂表现:很积极□ 比较积极□ 一般积极□ 学生上次作业完成情况: 优□ 不积极□ ___________________________

良□ 中□ 差□ 存在问题 _____________________________

学管师( 班主任)_______________________________________________________________

学生成长 记录

备 注

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 学生签字 班主任审批 教学主任审批

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