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山东省济宁市兖州一中2014-2015学年高二上学期12月月考数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年山东省济宁市兖州一中高二(上)12 月月考数学 试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.下列命题: (1)5>4; (2)命题:若 a>b,则 a+c>b+c 的否命题; (3) “若 m>0,则 x +x﹣m=0 有实数根”的逆否命题; (4)命题: “ 矩形的两条对角线相等”的逆命题. 其中假命题的个数为( ) A.0 B .1 C.2 D.3 2.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB,则角 C= ( ) A. B. C. D.
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3.若 a,b,c,d∈R,a>b,c>d,则下列不等式成立的是( A.ac>bd B.a >b
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C.c ≥d

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D.a﹣d>b﹣c )

4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=﹣11,a5+a6=﹣4,Sn 取得最小值时 n 的值为( A.6 B.7 C.8 D.9 5. 设 a∈R, 则 “a=﹣1” 是 “直线 l1: ax+2y﹣1=0 与直线 l2: (a﹣1) x+ay+4=0 垂直” 的 ( 条件. A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要
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6.在△ABC 中,三边 a、b、c 与面积 S 的关系是 S= (a +b ﹣c ) ,则角 C 应为( A.30° B.45° C.60° D.90° 7.等差数列的前 n 项和,前 2n 项和,前 3n 项的和分别为 S,T,R,则( A.S +T =S(T+R)
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B.R=3(T﹣S) C.T =SR D.S+R=2T

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8.若某人在点 A 测得金字塔顶端仰角为 30°,此人往金字塔方向走了 80 米到达点 B,测得 金字塔顶端的仰角为 45°, 则金字塔的高度最接近于 (忽略人的身高) (参考数据 ≈1.732) ( ) A.110 米 B.112 米 C.220 米 D.224 米

9.设 x>y>z,n∈Z,且 A.2 B.3 C.4 D.5

恒成立,则 n 的最大值是(



10.己知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:3a1﹣a8 +3a15=0,且 a8=b10,则 b3b17=( A.9 B.12 C.l6 D.36

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二、填空题(每小题 5 分) 11.已知锐角α,β满足 ,则α+β= .

12.在△ABC 中,已知 2a=b+c,sin A=sinBsinC,则△ABC 的形状为 13.已知 p:0<a<4 恒成立,q:ax +ax+1>0 恒成立,p 是 q 的 14. 已知{an}为等差数列, Sn 为{an}的前 n 项和, n∈N , 若 a3=16, S20=20, 则 S10 值为
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. 条件. .

15.如果实数 x,y 满足不等式组

,目标函数 z=kx﹣y 的最大值为 6 ,最小值

为 0,则实数 k 的值为



三、解答题 16.设命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x +2x﹣8>0, 且? p 是? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 17. (1)在△ABC 中,a+b= + ,A=60°,B=45°,求 a,b; (2)在△ABC 中边 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值.
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18. (1)若关于 x 的不等式﹣

+2x>mx 的解集为{x|0<x<2},求实数 m 的值; 的最小值.

(2)已知 x,y 都是正数,若 4x+y=6,求

19.已知数列 an 的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an}的通项公式;

,n∈N+.

(2)若数列 bn 满足:bn= (an+2) ? 2 ,n∈N+,试求{bn}的前 n 项和公式 Tn.

n

20.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 A,当年产量 不足 80 千件时, (x) C = (万元) . 当年产量不小于 80 千件时, ( C x) =51x+

(万元) .每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 21.设函数 f(x)=x +2ax+3. (1)关于 x 的不等式 f(x)≥3a﹣1 对一切 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)解关于 x 的不等式 f(x)<1; (3)函数 f(x)在区间[﹣1, ]上有零点,求实数 a 的取值范围.
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2014-2015 学年山东省济宁市兖州一中高二(上)12 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1.下列命题: (1)5>4; (2)命题:若 a>b,则 a+c>b+c 的否命题; (3) “若 m>0,则 x +x﹣m=0 有实数根”的逆否命题; (4)命题: “矩形的两条对角线相等”的逆命题. 其中假命题的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: (1) ,由于 5 与 4 的关系明确,易判断(1)正确; (2)写出命题: “若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题,再判断(2)即可; (3)利用“原命题与其逆否命题的真假性相同” ,可先判断原命题“若 m>0,则 x +x﹣m=0 有实数根”的真假性,即可判断(3) ; (4)写出命题: “矩形的两条对角线相等”的逆命题,可判断(4) . 解答: 解: (1)5>4,正确; (2)命题: “若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题为“若 a≤b,则 a+c≤b+c” ,正确; (3) “若 m>0,则 x +x﹣m=0 中△=(﹣1) ﹣4×(﹣m)=1+4m>1>0,故方程 x +x﹣m=0 有 实数根,为真命题, 由于原命题与其逆否命题的真假性相同,故其逆否命题为真命题,即(3)正确; (4)命题: “矩形的两条对角线相等”的逆命题为“对角线相等的四边形是矩形” ,显然错误. 综上所述,假命题的个数为 1 个, 故选:B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查四种命题之间的关系及真假判断,是基本 知识的考查. 2.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,若 b+c=2a,3sinA=5sinB,则角 C= ( ) A. B. C. D.
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考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理将 3sinA=5sinB 转化为 5b=3a,从而将 b、c 用 a 表示,代入余弦定理即可 求出 cosC,即可得出∠C. 解答: 解:∵b+c=2a, 由正弦定理知,5sinB=3sinA 可化为:5b=3a,解得 c= b,

由余弦定理得,cosC= ∴C= ,

=



故选:B. 点评: 本题考查等差数列的性质,正弦定理和余弦定理的应用,属于中档题. 3.若 a,b,c,d∈R,a>b,c>d,则下列不等式成立的是( A.ac>bd B.a >b C.c ≥d D.a﹣d>b﹣c 考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用.[来源:学,科,网 Z,X,X,K] 分析: 利用不等式的基本性质即可得出. 解答: 解:∵c>d, ∴﹣d>﹣c, 又∵a>b, ∴a﹣d>b﹣c. 故选:D. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 4.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=﹣11,a5+a6=﹣4,Sn 取得最小值时 n 的值为( A.6 B.7 C.8 D.9 考点: 等差数列的前 n 项和;数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. )
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分析: 【解法一】求出{an}的通项公式 an,在 an≤0 时,前 n 项和 Sn 取得最小值,可以求出 此时的 n; 【解法二】求出{an}的前 n 项和 Sn 的表达式,利用表达式是二次函数,有最小值时求对应 n 的值. 解答: 解: 【解法 一】在等差数列{an}中,设公差为 d, ∵a1=﹣11,a5+a6=﹣4, ∴(a1+4d)+(a1+5d)=﹣22+9d=﹣4; ∴d=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=﹣11+2(n﹣1)=2n﹣13, 由 2n﹣13≤0,得 n≤ ,

∴当 n=6 时,Sn 取得最小值; 【解法二】在等差数列{an}中,设公差为 d, ∵a1=﹣11,a5+a6=﹣4, ∴(a1+4d)+(a1+5d)=﹣22+9d=﹣4, ∴d=2, ∴前 n 项和 Sn=na1+ ∴当 n=6 时,Sn 取得最小值; 故选:A. =﹣11n+ =n ﹣12n,
2

点评: 本题考查了等差数列的通项公式与前 n 项和综合应用问题,是基础题. 5. 设 a∈R, 则 “a=﹣1” 是 “直线 l1: ax+2y﹣1=0 与直线 l2: (a﹣1) x+ay+4=0 垂直” 的 ( 条件. A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分必要条件的定义,结合直线垂直的性质及判定分别进行判断即可. 解答: 解:若 a=﹣1,则 l1 的斜率是 ,l2 的斜率是 2,l1⊥l2,是充分条件, 若 l1⊥l2,则 a(a﹣1)+2a=0,解得:a=0 或 a=﹣1,不是必要条件, 故选:B. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了直线的垂直,是一道基础题.
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6.在△ABC 中,三边 a、b、c 与面积 S 的关系是 S= (a +b ﹣c ) ,则角 C 应为( A.30° B.45° C.60° D.90° 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 用三角形面积公式表示出 S,利用题设等式建立等式,进而利用余弦定理求得 2abcosC=a +b ﹣c ,进而整理求得 sinC 和 cosC 的关系进而求得 C. 解答: 解:由三角形面积公式可知 S= absinC, ∵S= ∴ absinC= 由余弦定理可知 2abcosC=a +b ﹣c ∴sinC=cosC,即 tanC=1, ∴C=45° 故选 B 点评: 本题主要考查了余弦定理的应用.要能熟练掌握余弦定理公式及其变形公式. 7.等差数列的前 n 项和,前 2n 项和,前 3n 项的和分别为 S,T,R,则(
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A.S +T =S(T+R) B.R=3(T﹣S) C.T =SR D.S+R=2T 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的“片段和”仍成等差数列可得 S,T﹣S,R﹣T 成等差数列,由等差中项 可得. 解答:[来源:学科网] 解:由等差数列的“片段和”仍成等差数列, 可得:S,T﹣S,R﹣T 成等差数列, ∴2(T﹣S)=S+R﹣T 变形可得 R=3(T﹣S) ,

故选:B 点评: 本题考查等差数列的性质,得出“片段和”仍成等差 数列是解决问题的关键,属基础 题. 8.若某人在点 A 测得金字塔顶端仰角为 30°,此人往金字塔方向走了 80 米到达点 B,测得 金字塔顶端的仰角为 45°, 则金字塔的高度最接近于 (忽略人的身高) (参考数据 ≈1.732) ( ) A.110 米 B.112 米 C.220 米 D.224 米 考点:[来源:Z§xx§k.Com] 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用 CD 表示出 AD,BD,让 QD 减去 BD 等于 80,即可求得 CD 长. 解答: 解:设 CD=x, 在 Rt△ACD 中,∠A=30°,∴AD=CDtan60°= x, 在 Rt△CDB 中,∠CBD=45°,∴BD=x, ∵AB=80 米, ∵ x﹣x=80 ∴x=40( +1)≈110 米 故选:A.

点评: 本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题,要求学生能借助仰角构造直角三 角形并解直角三角形. 9.设 x>y>z,n∈Z,且 A.2 B.3 C.4 D.5 考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题. 分析: 设 x>y>z,n∈N,由柯西不等式知 要使 只需 恒成立, ,由此能求出 n 的最大值. = , 恒成立,则 n 的最大值是( )

解答: 解:设 x>y>z,n∈N, 由柯西不等式知:

= 要使 只需 , 恒成立,

所以 n 的最大值为 4. 故选 C. 点评: 本题考查函数恒成立问题,解题时要认真审题,仔细解答,注意柯西不等式的灵活运 用. 10.己知等差数列{an}和等比数列{bn}满足:3a1﹣a8 +3a15=0,且 a8=b10,则 b3b17=( A.9 B.12 C.l6 D.36 考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 运用等差数列的性质,等比数列的性质求解. 解答: 解:∵等差数列{an}和等比数列{bn}满足:3a1﹣a8 +3a15=0, 且 a8=b10, ∴a =3a1+3a15=6a8,a8=6,a8=0(舍去) ,
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b10=6 2 b3b17=b10 =3 6 故选:D 点 评: 本题综合考查了等差等比数列的定义,性质. 二、填空题(每小题 5 分) 11.已知锐角α,β满足 ,则α+β= .

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由α、β∈(0, ) ,利用同角三角函数的关系算出 cosα、sinβ的值,进而根据 ,结合α+β∈(0,π)可得α+β的值. , = ? . ﹣ ? = .

两角和的余弦公式算出 cos(α+β)= 解答: 解:∵α、β∈(0, ∴cosα= = ) ,满足 ,sinβ=

由此可得 cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ= 又∵α+β∈(0,π) ,∴α+β= .

故答案为: 点评: 本题给出角α、β满足的条件,求α+β的值.着重考查了特殊角的三角函数值、同 角三角函数的基本关系、两角和的余弦公式 等知识,属于中档题. 12.在△ABC 中,已知 2a=b+c,sin A=sinBsinC,则△ABC 的形状为 等边三角形 . 考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理化简 sin A=sinBsinC,得到 a =bc,与 2a=b+c 联立得到 a=b=c,可得出 三角形 ABC 为等边三角形. 解答: 解:由正弦定理化简 sin A=sinBsinC,得到 a =bc, 又 2a=b+c,即 a= ,
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∴a =
2

2

=bc,即(b+c) =4bc,

2

∴(b﹣c) =0,即 b=c,[来源:Z§xx§k.Com] ∴2a=b+c=b+b=2b,即 a=b, ∴a=b=c, 则△ABC 为等边三角形. 故答案为:等边三角形 点评: 此题考查了三角形形状的判断,涉及的知识有:正弦定理,以及等边三角形的判定, 熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 13.已知 p:0<a<4 恒成立,q:ax +ax+1>0 恒成立,p 是 q 的 充分不必要 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:[来源:学科网 ZXXK] 简易逻辑. 分析: 根据 q:ax +ax+1>0 恒成立,由已知得 a=0,或 a 的取值范围.即可判断答案. 解答: 解:∵不等式 ax +ax+1>0 对任意 x∈R 恒成立, ∴a=0,或 解得 0≤a<4, ∴q:ax +ax+1>0 恒成立,实数 a 的取值范围是[0,4) . ∵p:0<a<4 恒成立, ∴根据充分必要条件的定义可判断: ,p 是 q 的充分不必要条件. 故答案为:充分不必要条件 点评: 本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要注意二次函数的性质的合理运 用,系数为 0 的情况.
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条件.

,由此能求出实数



14.已知{an}为等差数列,Sn 为{an}的前 n 项和,n∈N ,若 a3=16,S20=20,则 S10 值为 110 . 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 本题可根据等差数列的前 n 项和的一上性质{S(k+1)m﹣Skm}是以 m d 为公差的数列,本 题中令 m=5,每五项的和也组成一个等差数列,再由数列中项知识求出前五项的和,由此建立 方程求出公差,进而可求出 S10 的值 解答: 解:由题意 a3=16,故 S5=5×a3=80, 由数列的性质 S10﹣S5=80+25d,S15﹣S10=80+50d,S20﹣S15=80+75d, 故 S20=20=320+150d,解之得 d=﹣2 又 S10=S5+S10﹣S5=80+80+25d=160﹣50=110 故答案为:110 点评: 本题考点是等差数列的性质,考查等差数列前 n 项和的性质,以及数列的中项的运用, 本题技巧性较强,属于等差数列的性质运用题,解答本题,要注意从题设条件中分析出应该 用那个性质来进行转化.[来源:学,科,网]
2

*

15.如果实数 x,y 满足不等式组

,目标函数 z=kx﹣y 的最大值为 6,最小值

为 0,则实数 k 的值为 2 . 考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数即可求 得 k 值.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,得 C(1,2) ,

由题意可知,使目标函数取得最大值的最优解为 B(3,0) ,

取得最小值的最优解为(1,2) , 则 ,解得:k=2.

故答案为:2. 点评: 本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 三、解答题 16.设命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0,其中 a<0;命题 q:实数 x 满足 x +2x﹣8>0, 且? p 是? q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 探究型. 分析: 先求出命题 p,q 的等价条件,将条件? p 是? q 的必要不充分条件转化为 q 是 p 必要 不充分条件,进行求解即可. 解答: 解:设 A={x|x ﹣4ax+3a <0(a<0)}={x|3a<x<a(a<0)}, 2 B={x|x +2x﹣8>0}={x|x<﹣4 或 x>2}.…(5 分) ∵? p 是? q 的必要不充分条件, ∴q 是 p 必要不充分条件, ∴A? B,…(8 分) 所以 3a≥2 或 a≤﹣4,又 a<0, 所以实数 a 的取值范围是 a≤﹣4.…(12 分) 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,条件? p 是? q 的必要不充分条件转化为 q 是 p 必要不充分条件是解决本题的关键,注意要熟练掌握一元二次不等式的解法. 17. (1)在△ABC 中,a+b= + ,A=60°,B=45°,求 a,b; (2)在△ABC 中边 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 考点: 正弦定理;等比数列的通项公式. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用正弦定理列出关系式,把 sinA 与 sinB 的值代入表示出 a 与 b 的关系式, 与已知关系式联立求出 a 与 b 的值即可; (2)由 a,b,c 成等比数列,利用等比数列的性质得到 b =ac,把 c=2a 代入用 a 表示出 b, 利用余弦定理表示出 cosB,将表示出的 b,c 代入求出 cosB 的值即可. 解答: 解: (1)∵△ABC 中,a+b= + ,A=60°,B=45°, ∴由正弦定理 = 得: = ,即 a= b,
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代入 a+b=

+

得: (

+1)b=

+



解得:b= ,a= ; (2)∵△ABC 中,边 a,b,c 成等比数列,c=2a, ∴b =ac=2a ,即 b=
2 2

a,

由余弦定理得:cosB=

=

= .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及等比数列的性质,熟练掌握定理是解本题的关键. [来源:学_科_网] 18. (1)若关于 x 的不等式﹣ +2x>mx 的解集为{x|0<x<2},求实数 m 的值; 的最小值.

(2)已知 x,y 都是正数,若 4x+y=6,求

考点: 基本不等式;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)原不等式可变为 x ﹣(4 ﹣2m)x<0,由题意可得 0,2 是一元二次方程 x ﹣(4 ﹣2m)x=0 的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出. (2)利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 解答: 解: (1)原不等式可变为 x ﹣(4﹣2m)x<0, ∵关于 x 的不等式﹣ +2x>mx 的解集为{x|0<x<2},
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∴0,2 是一元二次方程 x ﹣(4﹣2m)x=0 的两个实数根, ∴0+2=4﹣2m,解得 m=1, ∴实数 m=1. (2)∵x,y 都是正数,4x+y=6,

= [来源:学§科§网] ∴ 的最小值是 . .

= ,当且仅当 y=2x=2 时取等号.

点评: 本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、 “乘 1 法” 和基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题.

19.已知数列 an 的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an}的通项公式;

,n∈N+.

(2)若数列 bn 满足:bn= (an+2) ? 2 ,n∈N+,试求{bn}的前 n 项和公式 Tn.

n

考点:[来源:Zxxk.Com] 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用“a1 =S1,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出. (2)利用“错位相减法”即可得出.

解答: 解: (1)∵Sn=

,n∈N+.

∴a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2, 又 n=1 时,a1=1 也适合, ∴数列{an}的通项公式为 an=3n﹣2. (2)∵bn= (an+2) ? 2 =n? 2 . ∴Tn=1×2+2×2 +3×2 +…+n×2 , 2 3 4 n+1 2Tn=1×2 +2×2 +3×2 +…+n×2 , ∴﹣Tn=2+2 +2 +2 +…2 ﹣n×2 =
n+1 2 3 4 n n+1 2 3 n n n



整理得:Tn=(n﹣1)2 +2. 点评: 本题考查了利用“a1=S1,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”求通项公式、 “错位相减法” 、等比 数列的前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 A,当年产量 不足 80 千件时, (x) C = (万元) . 当年产量不小于 80 千件时, ( C x) =51x+

(万元) .每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L(x) (万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 考点: 函数最值的应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)分两种情况进行研究,当 0<x<80 时,投入成本为 C(x)= 根据年利润=销售收入﹣成本,列出函数关系式,当 x≥80 时,投入成本为 C(x) =51x+ ,根据年利润=销售收入﹣成本,列出函数关系式,最后写成分段函数的 (万元) ,

形式,从而得到答案; (Ⅱ)根据年利润的解析式,分段研究函数的最值,当 0<x<80 时,利用二次函数求最值, 当 x≥80 时,利用基本不等式求最值,最后比较两个最值,即可得到答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵每件商品售价为 0.05 万元, ∴x 千件商品销售额为 0.05×1000x 万元, ①当 0<x<80 时,根据年利润=销售收入﹣成本, ∴L(x)=(0.05×1000x)﹣ ﹣10x﹣250= +40x﹣250;

②当 x≥80 时,根据年利润=销售收入﹣成本, ∴L(x)=(0.05×1000x)﹣51x﹣ +1450﹣250=1200﹣(x+ ) .

综合①②可得,L(x)=



(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,



①当 0<x<80 时,L(x)=

+40x﹣250=﹣



∴当 x=60 时,L(x)取得最大值 L(60)=950 万元; ②当 x≥80 时,L(x)=1200﹣(x+ 当且仅当 x= )≤1200﹣2 =1200﹣200=1000,

,即 x=100 时,L(x)取得最大值 L(100)=1000 万元.

综合①②,由于 950<1000, ∴当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. 点评: 考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力,以及运用基本不等式求最值的能 力. 21.设函数 f(x)=x +2ax+3. (1)关于 x 的不等式 f(x)≥3a﹣1 对一切 x∈R 恒成 立,求实数 a 的取值范围; (2)解关于 x 的不等式 f(x)<1; (3)函数 f(x)在区间[﹣1, ]上有零点,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;分类讨论;函数的性质及应用;不 等式的解法及应用. 分析: (1)x +2ax+3≥3a﹣1 对一切 x∈R 恒成立,即 x +2ax+4﹣3a≥0,x∈R 恒成立,所以 2 (2a) ﹣4(4﹣3a)≤0,解得即可; (2)对判别式讨论大于 0,等于 0,小于 0,再由二次不等式的解法,即可得到; (3)要使函数在[﹣1, ]有零点,只需考虑 a 的符号和对称轴的位置及端点的函数值的符 号以及零点存在定理和运用,列出不等式组,解出即可得到范围. 解答: 解: (1)由题意得,x +2ax+3≥3a﹣1 对一切 x∈R 恒成立, 2 即 x +2ax+4﹣3a≥0,x∈R 恒成立, 2 2 所以(2a) ﹣4(4﹣3a)≤0,即 a +3a﹣4≤0, 解得,﹣4≤a≤1, 所以实数 a 的取值范围﹣4≤a≤1; (2)由 f(x)<1,得,x +2ax+3<1, 2 即 x +2ax+2<0, 2 其中△=4a ﹣8, 2 当△=4a ﹣8≤0 即﹣ 时,不等式无实数解; 当△=4a ﹣8>0,即 a
2 2 2 2 2 2

或 a<﹣

时,

设 则 x1<x<x2, 综上所述,当 当 (3)要使函数

,x2=﹣a

时,不等式无解; ;



,或△=4a ﹣12=0,

2

或 解得, ,

,或 a=

, (不合题意)

综上所述,实数 a 的取值范围(﹣∞,﹣

]∪[2,+∞) .

点评: 本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法,考查分类讨论的思想方法,考查运算 能力,属于中档题.


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