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近年来自主招生数学试卷解读及应试策略


近年来自主招生数学试卷解读及应试策略
上海华东师大二附中 范端喜 200241

自从 2006 年复旦大学、上海交通大学等全国重点院校高考改革试验“破冰”以来,各高校“深化自 主选拔录取改革试验”招生方案不断出台,全国自主招生高校不断增多,而且各高校自主招生比例也在增 大. 2010 年自主招生中一些名牌高校首次实行联合统一考试, 如清华大学等 5 所高校实行 “五校联考” . 2011 年自主招生呈三足鼎立之势:以清华大学为首的 7 所高校自主招生称为“华约” ;以北京大学为首的 13 所 高校自主招生称为“北约” ;9 所工科院校组成的自主招生联盟称为“卓越联盟”. 这引起教育界人士和家 长们的高度关注,更引起了广大中学生对自主招生考试的兴趣. 2012 年的自主招生考试难度不减. “华约” 、 “北约”的自主招生考试中,教材基本内容大约占 60% , 其余内容涉及竞赛的相关知识. 2012 年自主招生考试热点知识为:三角、方程的根的问题、排列组合、二 项式定理、概率、解析几何、平面几何、组合、导数、不等式等.

1. 试卷特点分析
1.1 基础知识、基本技能仍是考查的重点 没有扎实的“双基” ,能力培养就成了无源之水、无本之木. 基础知识、基本技能是数学教学的重要任 务之一,是培养学生能力的前提. 纵观清华大学、北京大学、复旦大学、上海交通大学、浙江大学等高校近几年自主招生笔试题目,我 们会发现,大部分的题目仍是比较基础的问题. 以复旦大学为例,其笔试 30 道左右的选择题中,也多半是 考查学生们平时训练过的一些比较熟悉的题型和知识点.

1.2 考查知识点的覆盖面广,但侧重点有所不同 近几年自主招生的试题,知识点的覆盖面还是很广的,基本上涉及高中数学教学大纲的所有内容,如 函数、集合、数列、复数、三角、排列组合、概率统计、向量、立体几何、解析几何等. 然而,高校自主招生考试命题是由大学教授完成的,试题侧重考查高等数学与初等数学的衔接. 仍以 复旦大学为例,以下是几个在近几年该校自主招生考试中出现的频率较高的知识点:三角、函数和方程问 题、排列组合和概率统计、不等式等. 1.3 注重数学知识和其他科目知识的整合,考查学生应用知识解决问题的能力 例如,2010 年清华大学等“五校联考”有这样一个问题: 已知基因型为 AA、Aa、aa 的比例为 u : 2v : w, 且u ? 2v ? w ? 1. (1)求子一代 AA、Aa、aa 的比例; (2)子二代与子一代比例是否相同?

这是一道与生物学知识有密切联系的数学问题,若考生缺乏有关生物学方面的知识,则肯定不能解决 此问题. 这道题目在考生中引起了强烈的反响,它考查了学生应用数学解决问题的能力. 本题详细解答见 《名牌大学自主招生高效备考 数学》的第十讲,为了简便,下称本书. 2011 年“华约”又考了一道数学与物理学相结合的问题(见本书第十九讲) : 有一个圆柱形水杯,质量为 a 克(底面质量不计) ,重心在中轴线中点,装满水时,水的质量为 b 克. (1)若 b ? 3a ,求水装到一半时,重心到底面的距离与整个水杯高度之比; (2)水的质量是多少时,整体重心最低? 2012 年复旦大学也考了一道数学与物理学相结合的问题(见本书第十九讲) : 某船从 B 点出发,以速度 v 匀速向东航行,观察者在 B 点正南距离为 s 的 A 点进行观察,当观察者感 觉速度是 B 处速度的 A. 30?

1 时,观察者的视线跟随行船偏转的角度为( 4
B. 60? C. 45? D. 225?

).

1.4 突出对思维能力和解题技巧的考查 近几年的自主招生试卷中对数学思想方法和思维策略的考查达到了相当高的层次,难度上有时与全国 高中数学联赛一试试题相当. 例如,2007 年上海交通大学冬令营自主招生试题中有这样一个问题: 设 f ( x) ? (1 ? a) x 4 ? x3 ? (3a ? 2) x 2 ? 4a ,试证明对任意实数 a : (1)方程 f ( x) ? 0 总有相同实根; (2)存在 x0 ,横有 f ( x0 ) ? 0. 这两小问解决的策略和方法是:换一个角度,将函数看成一个关于 a 的一次函数. 该题的详解见本书 第四讲. 又如,对解决学习型问题的能力的考查,一直是高中数学教学大纲中提到的对学生能力要求较高的问 题. 学习型问题要求对过去没有学习过的概念、公式、定理或方法,在当前情景下通过阅读理解,即时学 习,并运用其解决与之相关的问题. 学习型问题对培养学生的阅读理解问题、独立获取知识的能力以及创新精神和实践能力都是大有裨益 的,在平时的学习中应适当加以训练. 2007 年清华大学自主招生考试中有这样一个学习型问题(见本书第一讲) : 对于集合 M ? R 2 ( R 2 表示二维点集),称 M 为开集,当且仅当 ?P 0 ? M , ?r ? 0, 使得

?P ? R

2

PP0 ? r? ? M .

判断集合 ?( x, y ) 4 x ? 2y ? 5 ? 0?与?( x, y ) x ? 0, y ? 0? 是否为开集,并证明你的结论. 2010 年复旦大学自主招生考试 32 道试题中,有六七道题涉及此方面的问题,例如: 设集合 X 是实数集 R 的子集, 如果点 x0 ? R 满足: 对任意 a ? 0 , 都存在 x ? X , 使得 0 ? x ? x0 ? a , 那 么 称 x0 为 集 合

X

的 聚 点 .

用 Z 表 示 整 数 集 , 则 在 下 列 集 合

? n ? ?1 ? 以 0 为聚点的集合有( (1) ? n ? Z, n ? 0? , (2)R \ ?0? , (3) ? n ? Z, n ? 0 ? , (4)整数集Ζ中, ? n ?1 ? ?n ?

).

A. (2)(3)

B. (1)(4)

C. (1)(3)

D. (1)(2)(4)

该题的详细解答请参考本书的第一讲. “开集” 、 “聚点”等是高等数学中非常重要的概念,同学们以后会在数学分析、拓扑等课程中学习到.

1.5 考试题量大、对考生熟练程度要求极高 由于自主招生考试只是针对少数特长生、优秀精英学生的考试,无论是“北约” 、 “华约” ,还是“卓 越联盟” 、复旦大学“千分考”等,对考生的解题速度都有很高的要求. 2012 年, “北约”考试题型是文理科各 7 道(文科 1-7 题,理科 3-9 题) ,全部是解答题,语、数、外 三科合在一起,考试时间共计 3 小时; “卓越联盟”试卷有 6 道解答题、6 道填空题,考试时间是 90 分钟; “华约”试卷有 10 道选择题、5 道解答题,考试时间是 90 分钟;复旦大学“千分考”十门共计 200 道选 择题,其中数学题 32 道,考试时间为 3 小时,平均每道题 54 秒.

2. 应试和准备策略
针对自主招生试题的上述特点,大家在复习时应注意以下几点:

2.1 注意知识点的全面 数学题目被猜中的可能性很小,知识一般都是靠平时积累,剩下的就是个人的临场发挥. 数学需要靠 平时扎扎实实的学习才能考出好成绩. 另外,对有些平时不太注意或高考不一定考的知识点,如矩阵、行列式等也不能忽视.

2.2 适当做一些近几年的自主招生考试的真题 俗话说,知己知彼,百战百胜. 同学们可适当地训练自己报考的或其他高校近几年自主招生考试的试 题,熟悉一下题型是有益的. 自主招生考试中有一些题是前几年的考试真题改编,甚至是原题,例如前面提到的 2007 年上海交通 大学冬令营的问题,其实在 2004 年上海交通大学冬令营中就已出现过类似问题(见本书第四讲) :

已知 f ( x) ? ax 4 ? x3 ? (5 ? 8a) x 2 ? 6 x ? 9a. 试求出:当实数 x 取何值时, (1)总有 f ( x)=0 ; (2)总有

f ( x) ? 0 .
又如,下面两题是同一类问题:

cos? (? ? R) 的值域. 2 ? sin ? 1 ? sin x (2005 年复旦大学,本书第十二讲)求: y ? 的最大值. 2 ? cos x
(2012 年“卓越联盟” ,本书第十二讲)求: y ? 再如,下面 3 道都是姊妹题: (2012 年复旦大学,本书第十七讲) 记 2012! =1? 2 ? 3??? 2012 为从 1 到 2012 之间所有整数的连 乘积,则 2012! 值的尾部(从个位往前计数)连续的 0 的个数是 .

A.504

B.503

C.502

D.501
个连续的零. 个连续的零.

(2003 年上海交通大学,本书第十七讲) 100! 的末尾有 (2006 年上海交通大学,本书第十七讲) 2005! 的末尾有

大家留意一下 2012 年苏州大学自主招生的最后一道压轴题(见本书第七讲) : 已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足 an?1 ? ?an ? 2bn , 且 bn?1 ? 6an ? 6bn , 且 a1 ? 2, b1 ? 4, 求an , bn . 其实,这道题就是 2004 年复旦大学自主招生的试题. 2.3 注重知识的延伸 全国重点院校自主招生考试试题比高考试题稍难,比数学竞赛试题又稍易.有些问题有一定的深度,这 就要求考生平时要注意知识点的延伸. 例如,2012 年复旦大学“千分考”的第 128 题(见本书第七讲) :

设x0 ? 0,x1 ? 1,xn ?1 ? A. 2 3 B. 1 3

xn ? xn ?1 ,则数列? xn ?的极限为 ______ . 2 2 1 C. D. 2 2

这道题实际上是利用特征方程特征根求数列通项公式. 又如,2012 年复旦大学“千分考”的第 113 题(见本书第十五讲) :

(1,2,3) , P2(2,4,1) , P3(1,k ,5) , P4(4,k +1,3)是空间直角坐标系中一个体积为 1 的四面体的四个顶 设P 1
点,其中 k 是实数,那么 k 的值为 .

A. 1或-2

B. -1或2

C. -3或4

D. -6或12

这道题实际上是要用到用四阶行列式表示四面体的体积公式,是教材中三阶行列式表示三角形面积公 式的一个推广. 再如,2008 年复旦大学“千分考”的第 88 题(见本书第十五讲) :

x1 设x1、x2、x3是方程x ? x ? 2 ? 0的三个根,则行列式 x2
3

x2 x3 x1

x3 x1 =( x2 ).

x3

A.-4

B.-1

C.0

D.2

此题要用到两个课本之外的知识点,即三次方程的韦达定理和公式

a3 ? b3 ? c3 ? 3abc ? (a ? b ? c)(a 2 ? b2 ? c 2 ? ab ? ac ? bc).
三次方程的韦达定理虽不难推导,但平时同学们对三次方程比较陌生. 而该公式对于参加过数学竞赛 的同学并不陌生. 再看一下 2010 年“五校联考”中有这样一个问题: 在三角形 ?ABC , H 为垂心, O 为外心,中线 AD 交 OH 于 G ,求

S?AGH . S?OGD

参加过数学竞赛的同学都清楚,这实际上是一道与欧拉线有关的问题,若平时接触或了解欧拉线的知 识,则做这道题就不费吹灰之力.

2.4 关注高考要求很淡化、但自主招生要求很高的内容;注重教材之外、课本中没有出现的知识 自主招生与高考大约有 60%-70%的知识点是重合的,如数列、解析几何、不等式等,这些知识点无论 是高考还是自主招生都是重点,但下面几个知识点要提醒考生注意: (1)三角:高考对三角的要求比较低,高考中一般出现在解答题的第一或第二题,属于送分题. 但在 自主招生中,三角所占的比例比较高,尤其是三角变换,而积化和差、和差化积公式在自主招生考试中是 “家常便饭”. 大学教授对三角比较重视是有道理的,这是因为大学里很多内容,比如:微积分、复变函 数、傅里叶级数等都要用到三角. 以下两题分别是 2012 年“卓越联盟”和“北约”自主招生试题,都有相当的挑战性. (2012 年 “卓越联盟” , 本书第十二讲) 设 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,? ? R) , 设 T (T ? 0) , 若存在 T , 使 f ( x ? T ) ? Tf ( x) 恒成立,则 ? 的范围为 (2012 年“北约” ,本书第十二讲) .

求使得sin 4 x sin 2 x ? sin x sin3x ? a在 ?0,? ? 有唯一解的a.
(2)平面几何:这块内容是高中数学联赛加试中必考的,但除了少数省市,如北京市、江苏省等在 高考中还没涉及平面几何内容,大多数省市高考不考平面几何. 显然,初中也学习过平面几何,但由于时间长,多数同学早已忘得一干二净,所以平面几何得分率很 低,多数同学在考试中碰到平面问题时,往往不知所措.

以下两道题是 2012 年“北约”自主招生考试中与平面几何中圆有关的真题: (2012 年“北约” ,本书第十九讲)求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形. (2012 年“北约” )如果锐角 ?ABC 的外接圆圆心为 O ,求 O 到三角形三边的距离比(用三角形的角 和三角函数表示). (3)组合:熟悉和学习过数学竞赛的同学知道,组合是全国高中数学联赛加试中必考的内容之一(联 赛加试共四道) ,2012 年“华约”和“北约”分别考到一道组合问题,其中“北约”的组合问题带有数论 的味道,下面是 2012 年“华约”和“北约”自主招生真题: (2012 年“华约” ,本书第十八讲)有 n(n ? 2) 位乒乓球选手,他们互相进行了若干场乒乓球双打比 赛,并且发现任意两名选手作为队友恰好只参加过一次比赛,请问 n 的所有可能值. (2012 年“北约” ,本书第十八讲)在 1 , 2, ?, 2012 中取一组数,使得任意两数之和不能被其差整除, 最多能取多少个数?

2.5 加强运算能力的训练,提高解题速度 前面提到,自主招生考试中对考生解题速度要求极高,在此提醒同学们注意的是,平时少用计算器, 尤其是上海的考生. 首先我要说的是适当的使用计算器并不是坏事,但确实有不少学生过分依赖计算器, 而自主招生考试中是禁止使用计算器的,所以习惯使用计算器的不少上海学生,在自主招生考试中会手忙 脚乱,不知所措. (注:本文是根据作者编著《名牌大学自主招生高效备考 数学》 (华东师范大学出版社)一书改编)


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