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山西省山大附中2013届高三3月月考数学理试题


山西大学附中 2012-2013 学年高三(3 月)月考数学(理科)试卷
(考试时间:120 分钟) 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1. 若复数 z ? (5sin ? ? 3) ? (5cos ? ? 4)i 是纯虚数,则 tan ? 的值为( A.



4 3

B. ?
<

br />3 4

C.

3 4

D. ? 或

3 4

3 4


2.对于集合 M , N ,定义: M ? N ? {x | x ? M 且 x ? N } , M ? N ? (M ? N ) ? ( N ? M ) , 设 A = { y | y ? x 2 ? 3x, x ? R) , B ? x y ? log2 (? x) ,则 A ? B =(
9 9 ,0] B. [ ? ,0) 4 4 9 9 C. (??,? ) ? [0,??) D. (??,? ) ? (0,??) 4 4 3. 右图中, 1 , x2 , x3 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分, x

?

?

A. ? (

p 为该题的最终得分,当 x1 ? 6, x2 ? 9, p ? 8.5 时, x3 等于(
A.11 B.10
2



C.8

D.7 )

4.设甲:函数 f ( x) ? log2 ( x ? bx ? c) 的值域为 R ,乙:函数

g ( x) ? x 2 ? bx ? c 有四个单调区间,那么甲是乙的(
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

5.规定记号“ ? ”表示一种运算,即: a ? b ? a ? 2ab ? b ,设函数 f ( x) ? x ? 2 。
2

且关于 x 的方程为 f ( x) ? lg x ? 2 ( x ? ?2) 恰有四个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 , x4 ,则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 的值是(
A. ?4 B. 4 6. 已知 F 和 F2 分别是双曲线 1

) C. 8
2 2

D. ?8

x y ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 )的两个焦点, A 和 B 是以 O 2 a b 为圆心,以 | OF | 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 ?F2 AB 是等边三角形,则 1
该双曲线的离心率为( A. ) C. 2 D. 3 ? 1

3 ?1 2

B. 3 ? 1

7.若当 x ? 是( )

?
4

时,函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )( A ? 0) 取得最小值,则函数 y ? f (

3? ? x) 4

A.奇函数且图像关于点 (

?
2

, 0) 对称

B.偶函数且图像关于点 (? ,0) 对称 D.偶函数且图像关于点 (

C.奇函数且图像关于直线 x ?

, 0) 对称 2 2 2 2 8.过点 A(11, 2) 作圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ?164 ? 0 的弦,其中弦长为整数的共有(

?

对称

?



A.16 条

B. 17 条

C. 32 条

D. 34 条

9. 在平面斜坐标系 xoy 中 ?xoy ? 450 , P 的斜坐标定义为: 若 OP ? x0 e1 ? y 0 e2(其 点 “ 中 e1 ,e2 分 别 为 与 斜 坐 标 系 的 x 轴 , y 轴 同 方 向 的 单 位 向 量 ) 则 点 P 的 坐 标 为 , 系中的轨迹方程为( )

???? ???? .若 ( x0 , y0 ) ” F1 (?1,0), F2 (1,0), 且动点 M ( x, y) 满足 MF 1 ? MF 2 ,则点 M 在斜坐标

A. x ? 2 y ? 0 B. x ? 2 y ? 0 C. 2 x ? y ? 0 D. 2 x ? y ? 0 10.已知 f (x) 为 R 上的可导函数,且 ?x ? R ,均有 f ( x) ? f ?( x) ,则有( )

f (?2013) ? 2013 B. e f (?2013) ? 2013 C. e f (?2013) ? 2013 f (?2013) ? D. e
A. e
2013

f (0), f (2013) ? e2013 f (0) f (0), f (2013) ? e2013 f (0) f (0), f (2013) ? e2013 f (0) f (0), f (2013) ? e2013 f (0)
???? ??? ? ????

11. O 是锐角三角形 ABC 的外心, O 向边 BC, CA, AB 引垂线, 设 由 垂足分别是 D, E, F , 给出下列命题:① OA ? OB ? OC ? 0 ;② OD ? OE ? OF ? 0 ;③ | OD | : | OE | :

??? ??? ??? ? ? ?

????

??? ?

??? ? | OF | = cos A : cos B : cos C ;④ ?? ? R ,使得 AD ? ? (

AB AB sin B

?

AC AC sin C
D1

).
C1

以上命题正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4; 12.在正方体 ABCD? A B C D中, E 是棱 CC1 的中点, F 是侧面 1 1 1 1

A1

B1

BCC1B1 内的动点,且 A1F / / 平面 D1 AE ,则 A1F 与平面 BCC1B1 所成角
的正切值构成的集合是( A.?t ) B.?t
A

.
D

F E

C
B

? 2 5 ? ? ? ? t ? 2 3? ? 5 ? ? ?

? 2 5 ? ? ? ? t ? 2 ? C. t 2 ? t ? 2 3 ? 5 ? ? ?

?

?

D. t 2 ? t ? 2 2

?

?

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分)

?y ? x 1 2 ? 13.已知不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域为 M ,直线 y ? x 与曲线 y ? x 所围成的 2 ?x ? 2 ? 平面区域为 N ,现随机向区域 M 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 N 内的概率
为 . 14.对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:

32 ? 1 ? 3 ? 5 42 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 33 ? 7 ? 9 ? 11 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 2 3 * 根据上述分解规律,则 5 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 , 若 m (m ? N ) 的分解中最小的数是 73, 则 m 的值为 . 2 15.抛物线 x ? 8 y 的准线与 y 轴交于点 A ,点 B 在抛物线对称轴上,过 A 可作直线交

22 ? 1 ? 3 23 ? 3 ? 5

抛物线于点 M 、 N ,使得 BM ? MN ?

1 MN ,则 OB 的取值范围是 2



16. 给出以下四个命题: ① 若 cos ? cos ? ? 1,则 sin(? ? ? ) ? 0 ; ② 已知直线 x ? m 与函数 f ( x) ? sin x, g ( x) ? sin(

?
2

? x) 的图像分别交于点 M , N ,则

| MN | 的最大值为 2 ;
③ 若数列 an ? n2 ? ?n(n ? N? ) 为单调递增数列,则 ? 取值范围是 ? ? ?2 ; ④ 已知数列 {an } 的通项 an ? 其中正确命题的序号为 三、解答题:

3 ,前 n 项和为 Sn ,则使 Sn ? 0 的 n 的最小值为 12. 2n ? 11


17 . 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 数 列 ?an ? 的 相 邻 两 项 an , an ?1 是 关 于 x 的 方 程 (
? x2 ? 2n x ? b ?0 , (n ? N 的两根,且 a1 ? 1 . ) n

? ? (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; 1 3
值范围。

(Ⅰ)求证:数列 ?an ? ? 2n ? 是等比数列;

? ?

(Ⅲ)设函数 f (n)=bn ? t ? Sn  ? N? )   f (n)>0 对任意的 n ? N 都成立,求 t 的取 若 (n

?

18. (本小题满分 12 分)2012 年 3 月 2 日,国家环保部发布了新修订的《环境空气质量 标准》.其中规定:居民区中的 PM2.5(PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒 物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过 35 微克/立方米,PM2.5 的 24 小时平均浓 度不得超过 75 微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2.5 的 24 小时平均浓度的监测数据,数据统计如下: 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 PM2.5(微克/立方米) (0,15] (15,30] (30,45] (45,60] 频数(天) 4 12 8 8 频率 0.1 0.3 0.2 0.2

(60,75] 4 0.1 第三组 (75,90) 4 0.1 第四组 (Ⅰ)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程) ; (Ⅱ)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从 PM2.5 的年平均浓度考虑, 判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由; (Ⅲ)将频率视为概率,对于去年的某 2 天,记这 2 天中该居民区 PM2.5 的 24 小时平均 浓度符合环境空气质量标准的天数为 X ,求 X 的分布列及数学期望 E (X ) . 19. (本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 中, ?BCD 为正三角形, AD ? AB ? 2 ,

BD ? 2 3 , AC 与 BD 交于 O 点. ?ACD 沿边 AC 折起, D 点至 P 点, 将 使 已知 PO 与 平面 ABCD 所成的角为 ? ,且 P 点在平面 ABCD 内的射影落在 ?ACD 内. P (Ⅰ)求证: AC ? 平面 PBD ;
(Ⅱ)若已知二面角 A ? PB ? D 的余弦值为
21 ,求 ? 的大小. 7
D
O
C

20. (本小题满分 12 分)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的

B

1 椭圆 ? ,它的离心率为 ,一个焦点和抛物线 y 2 ? ?4x 的焦 A 2 点重合,过直线 l : x ? 4 上一点 M 引椭圆 ? 的两条切线,切点分别是 A, B . (Ⅰ)求椭圆 ? 的方程; x2 y 2 ( Ⅱ ) 若 在 椭 圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 上 的 点 ?x0 , y0 ? 处 的 椭 圆 的 切 线 方 程 是 a b x0 x y0 y ? 2 ? 1 . 求证:直线 AB 恒过定点 C ;并出求定点 C 的坐标. a2 b (Ⅲ)是否存在实数 ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 恒成立?(点 C 为直线 AB 恒过
的定点)若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由。 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ? ax ,其中 a ? R, x ? R . (I)若函数 f ( x ) 在区间(1,2)上不是单调函数,试求 a 的取值范围; (II) 已知 b ? ?1 ,如果存在 a ? (??, ?1] ,使得函数 h( x) ? f ( x) ? f ?( x) ( x ? [?1, b]) 在

x ? ?1 处取得最小值,试求 b 的最大值.
请考生在第 22、23 题中任选一题作答。若多做,则按所做的第一题计分。 ? x ? a cos ? ? 22. 在平面直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ? ( a ? b ? 0 , 为参数) , ? y ? b sin ? 在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 是圆心在极轴上,且经过极 点的圆. 已知曲线 C1 上的点 M (1,

D(1, ) . 3
(I)求曲线 C1 , C 2 的方程; (II)若点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ? 23. 已知函数 f ( x) ? x ? 1 (I)求不等式 f ( x) ? x ? 1 ? 0 的解集;
2

?

? ? 3 射线 ? ? 与曲线 C 2 交于点 ) 对应的参数 ? ? , 3 3 2

?
2

) 在曲线 C1 上,求

1

?

2 1

?

1
2 ?2

的值.

(II)设 g ( x) ? ? x ? 3 ? m ,若关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集非空,求实数 m 的取 值范围.

2012-2013 学年高三(3 月)月考数学答案

1. B 13.

2.C 3.C 4.B 5.D 6. D 7.C 8.C 14. 9 15. (6, ??)

9.D 10.D 11.B 12.D

1 13 (文) 6 36

16.①②

1 n ?1 1 ? ?( a n ? ? 2 n ) , 17. 【解】 : ? an ? an?1 ? 2n ? a n ?1 ? ? 2 (1) 即 3 3

1 a n?1 ? ? 2 n ?1 3 ? ?1 1 n an ? ? 2 3

1 ? ? ? ?an ? ? 2n ? 是等比数列 3 ? ? (2) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an

? a1 ?

2 1 1 ? , q ? ?1? an ? [2n ? (?1) n ] (3 分) 3 3 3

1 1 2(1 ? 2n ) (?1)(1 ? (?1)n ) ? [(2 ? 22 ? ? ? 2n ) ? ((?1) ? (?1) 2 ? ? ? (?1) n )] ? [ ? ] 3 3 1? 2 1?1 ? 2n ?1 2 (6 分) ? n偶 1 n ?1 ?1 ? (?1)n ? 3 3 ? ? [2 ? 2 ? ] ? ? n ?1 3 2 ? 2 ? 1 n奇 ? 3 3 ? (3) bn ? an ? an?1 1 1 ? bn ? [2n ? (?1) n ][2n ?1 ? (?1) n ?1 ] ? [22 n ?1 ? (?2) n ? 1]? bn ? t sn >0 9 9 1 1 (?1)n ? 1 ? [22 n?1 ? (?2)n ? 1] ? t ? [2n ?1 ? 2 ? ]?0 9 3 2
∴当 n 为奇数时

1 2n?1 n t 1 [2 ? 2 ? 1] ? (2n?1 ? 1) ? 0 ?t ? (2n ? 1)对?n ? 奇数都成立? t <1 9 3 3
当 n 为偶数时

(9 分)

1 2 n ?1 t 1 2t [2 ? 2n ? 1] ? (2n ?1 ? 2) ? 0 ? [2 2 n ?1 ? 2 n ? 1] ? (2 n ? 1) ? 0 9 3 9 3 1 3 t ? (2n ?1 ? 1)对?n ? 偶数都成立 ? t ? 6 2 综上所述, t 的取值范围为 ?? ?,1? (12 分)
18. 【解】(1)众数为 22.5 微克/立方米, 中位数为 37.5 微克/立方米. ???4 分 : (2)去年该居民区 PM2.5 年平均浓度为 7.5 ? 0.1 ? 22.5 ? 0.3 ? 37.5 ? 0.2 ? 52.5 ? 0.2 ? 67.5 ? 0.1 ? 82.5 ? 0.1 ? 40.5(微克/立方 米) . 因为 40.5 ? 35 ,所以去年该居民区 PM2.5 年平均浓度不符合环境空气质量标准, 故该居民区的环境需要改进. …………………………………………8 分 (3)记事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准” ,

则 P ( A) ?

9 . 10
k

随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2.且 ? ? B (2,

9 ). 10

所以 P(? ? k ) ? C2 (

?
p

9 k 9 ) (1 ? ) 2?k (k ? 0,1, 2) , 10 10
1

所以变量 ? 的分布列为 2

0

1 100

18 100

81 100

E? ? 0 ?

1 18 81 9 ? 1? ? 2? ? 1.8 (天),或 E? ? nP ? 2 ? ? 1.8 (天) ??12 分 100 100 100 10
合计 2 6 5

(文) 【解】 (I)守成被调查人答卷情况统计表: 同意 不同意 1 1 教师 2 4 女生 3 2 男生 …………5 分 (II)

2 3 ? 126 ? ? 105 ? 42 ? 63 ? 105 (人) …………8 分 6 5

(III)设“同意”的两名学生编号为 1,2,“不同意”的四名学生分别编号为 3,4,5,6, 选出两人则有(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5) , , , , , , , , (2,6)(3,4)(3,5)(3,6)(4,5)(4,6)(5,6)共 15 种方法; , , , , , , 其中(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6) 种满足 , , , , , , , ,8

8 . …………12 分 15 19. 【解析】(1)证明:由 SD ? 面 SAB , AB ? 面SAB : 所以 SD ? AB 又 AB / / CD 所以 CD ? SD -----4 分 (2)取 SA 中点 N ,连结 ND, NM 1 则 NM / / AB ,且 MN ? AB ? DC , AB / / CD 2 NMCD 是平行四边形, 所以 ND / / MC , 所以 且 ND ? 面SAD, MC ? 面SAD 所以 CM / / 面 SAD ;----8 分 (3) VS ? ABCD : VS ? ABD ? S?ABCD : S?ABD ? 3: 2
题意,则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为
2 2 过 D 作 DH ? AB ,交于 H ,由题得 BD ? AD ? 1 ? 2 ? 5

在 Rt ?DSA, Rt ?DSB 中, SA ? SB ? 所以 VS ? ABD ? VD ? SAB ?

5 ? 12 ? 2

2

1 3 3 3 3 所以 VS ? ABCD ? ? -------12 分 ? DS ? S?ABS ? ? 3 3 , 2 3 2
P
C

(理) 【解析】 :(Ⅰ)易知 O 为 BD 的中点, 则 AC ? BD ,又 AC ? PO , 又 BD ? PO ? O , BD, PO ? 平面 PBD , 所以 AC ? 平面 PBD (4 分)
D

O

B

A

(Ⅱ)方法一:以 OB 为 x 轴, OC 为 y 轴,过 O 垂直于 平面 ABC 向上的直线为 z 轴建立如图所示空间 直角坐标系,则 A(0, ?1, 0) , B( 3,0,0) P(? 3 cos θ,0, 3sin θ) ? 易知平面 PBD 的法向量为 j ? (0,1,0) (7 分) (6 分)

??? ? ??? ? ? AB ? ( 3,1,0) , AP ? (? 3 cos θ,1, 3sin θ) 设平面 ABP 的法向量为 n ? ( x, y, z) ? ??? ? ? ??? ? ? ? n ? AB n ? AB ? 3x ? y ? 0 ? ? 则由 ? ? ??? 得, ? ? ??? ? ? ? n ? AP ?n ? AP ? ? 3 cos θx ? y ? 3 sin θz=0 ? ? ? y ? ? 3x ? cos θ ? 1 ? 解得, ? cos θ+1 ,令 x ? 1 ,则 n ? (1, ? 3, sin θ ) (9 分) x ?z ? sin θ ? ? ? ? ? | n? j | 3 21 则 | cos ? n, j ?|? ? ? ? ? 2 7 | n || j | (cos θ+1) 4? sin 2 θ (cos θ+1) 2 π 1 ( = ? 3 ,即 3 sin θ ? cos θ=1,即 sin θ ? ) , 解得, 2 6 2 sin θ π π π ( 又 θ ? 0, ) ,∴ θ= 故 θ= .(12 分) 2 3 3 2 x y2 2 20. 【解】 : (I) 设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 。 抛物线 y ? ?4x 的焦点是 ?? 1,0? , a b c 1 故 c ? 1 ,又 ? ,所以 a ? 2, b ? a 2 ? c 2 ? 3 , a 2 x2 y2 ? ?1 所以所求的椭圆 ? 方程为 ?????3 分 4 3 (II)设切点坐标为 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? ,直线 l 上一点 M 的坐标 ?4, t ? 。 xx yy x x y y 则切线方程分别为 1 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 。 4 3 4 3 t t t 又两切线均过点 M, x1 ? y1 ? 1, x2 ? y2 ? 1 , 即 即点 A,B 的坐标都适合方程 x ? y ? 1 , 3 3 3 t 而两点之间确定唯一的一条直线,故直线 AB 的方程是 x ? y ? 1 , 3 显然对任意实数 t,点(1,0)都适合这个方程,故直线 AB 恒过定点 C ?1,0? 。??6 分 t (III)将直线 AB 的方程 x ? ? y ? 1 ,代入椭圆方程,得 3 2 ?t2 ? ? t ? 3? ? y ? 1? ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ,即 ? ? 4 ? y 2 ? 2ty ? 9 ? 0 ?3 ? ? 3 ? ? ?

6t ? 27 , y1 y2 ? 2 ???????..8 分 t ? 12 t ? 12 不妨设 y1 ? 0, y2 ? 0
所以 y1 ? y2 ?
2

? t2 ? 2 t2 ? 9 t2 ? 9 AC ? ?x1 ? 1? ? y ? ? ? 1? y1 ? y1 ,同理 BC ? ? y2 ??10 分 ?9 ? 3 3 ? ?
2 2 1

所以

?1 1 ? 1 1 3 3 y ?y 3 ? ? ?? ? ? ? ? 2 1 ?? ? ?y y ? AC BC t2 ? 9 ? 1 t 2 ? 9 y1 y2 t2 ? 9 2 ?
2

? y2 ? y1 ?2
y1 y2

108 ? 6t ? ? 2 ? ? 2 3 1 144t 2 ? 9 ?144 4 ? t ? 12 ? t ? 12 ?? ? ? ? ? ? 27 9 3 t2 ? 9 t2 ? 9 2 t ? 12 4 即 AC ? BC ? AC ? BC 。 3 4 故存在实数 ? ? ,使得 AC ? BC ? ? AC ? BC 。 ????????12 分 3 21. 【解】(I)由题意知, f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? a 在区间(1,2)上有不重复的零点, : 由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? a ? 0 ,得 (3x2 ? 1)a ? ?2 x , 2x 2 因为 3x ? 1 ? 0 ,所以 a ? ? 2 ??3 分 3x ? 1 6 x2 ? 2 2x 2x 令y?? 2 ,则 y? ? 在区间(1,2)上是增函数, ? 0 ,故 y ? ? 2 2 2 3x ? 1 3x ? 1 (3x ? 1) 4 4 所以其值域为 (?1, ? ) ,从而 a 的取值范围是 (?1, ? ) ?????ks5u????5 分 11 11 3 2 (II) h( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? ax ? (3a ? 1) x ? (2 ? a) x ? a , 由题意知 h( x) ? h(?1) 对 x ? [?1, b] 恒成立, 3 2 即 ax ? (3a ? 1) x ? (2 ? a) x ? a ? 2a ?1对 x ? [?1, b] 恒成立, 2 即 ( x ? 1)[ax ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a)] ? 0 ①对 x ? [?1, b] 恒成立 ???7 分 当 x ? ?1 时,①式显然成立; ???8 分 2 当 x ? (?1, b] 时,①式可化为 ax ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ? 0 ②, ?? (?1) ? 0 2 令 ? ( x) ? ax ? (2a ? 1) x ? (1 ? 3a) ,则其图象是开口向下的抛物线,所以 ? ? ? (b) ? 0
???9 分 即?

?4a ? 0 b ? 2b ? 3 1 ?? ,其等价于 b ?1 a ?ab ? (2a ? 1)b ? (1 ? 3a) ? 0 ?
2

2

③ ,

因为③在 a ? (??, ?1] 时有解,所以

b 2 ? 2b ? 3 1 17 ?1 ? (? ) max ? 1 ,解得 ?1 ? b ? . b ?1 a 2

17 ? 1 ???????????12 分 2 ? 3 ? x ? a cos ? 22. 【解】 (I)将 M (1, , ) 及对应的参数 ? ? ,代入 ? 3 2 ? y ? b sin ?
从而 b 的最大值为

? ? ? 1 ? a cos 3 ?a ? 2 ? 得? ,即 ? ,ks5u ?b ? 1 ? 3 ? b sin ? ? 2 3 ? ? x ? 2 cos? x2 ? y2 ? 1. 所以曲线 C1 的方程为 ? ( ? 为参数) ,或 4 ? y ? sin ?
设圆 C 2 的半径为 R ,由题意,圆 C 2 的方程为 ? ? 2R cos? ,(或 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ). 将点 D(1,

?

3

) 代入 ? ? 2R cos? , 得 1 ? 2 R cos

?

3

,即 R ? 1 . ks5u

1 3 ) ,得 D( , ) ,代入 ( x ? R) 2 ? y 2 ? R 2 ,得 R ? 1 ), 3 2 2 2 2 所以曲线 C 2 的方程为 ? ? 2 cos? ,或 ( x ? 1) ? y ? 1.
(或由 D(1, (II)因为点 A( ?1 ,? ) , B ( ? 2 , ? ?

?

) 在在曲线 C1 上, 2 ? 2 cos2 ? ? 2 sin 2 ? 2 ? ?12 sin 2 ? ? 1 , 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 , ks5u 所以 1 4 4 1 1 cos2 ? sin 2 ? 5 所以 2 ? 2 ? ( ? sin 2 ? ) ? ( ? cos2 ? ) ? 4 4 4 ?1 ? 2
2

?

23. 解:(Ⅰ)原不等式可化为: x - 1 ? 1 - x

即: x - 1 ? 1 - x 或x - 1 ? x - 1
2 2

2分

由 x - 1 ? 1 - x 2 得 x ? 1或x ? -2 由 x - 1 ? x 2 - 1 得 x ? 1或x ? 0 综上原不等式的解为 x ? 1或x ? 0 ?????5 分 (Ⅱ)原不等式等价于 x-1 ? x ? 3 ? m的解集非空. 令 h( x) ? x - 1 ? x ? 3 ,即 h( x) ? x - 1 ? x ? 3 min ? m ,????8 分 由 x - 1 ? x ? 3 ? x - 1 - x - 3 ? 4 ,所以 h( x) min ? 4 ,ks5u 所以 m ? 4 .??????10 分


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