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基本计数原理的综合应用


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基本计数原理的综合应用 上课时间: 上课教师: 上课重点: 上课规划

知识内容
1.基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不 同的方法,在第二类办法中有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不 同

的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法.又称加法 原理. ⑵乘法原理 分步计数原理: 做一件事, 完成它需要分成 n 个子步骤, 做第一个步骤有 m1 种不同的方法, 做第二个步骤有 m2 种不同方法, ……, 做第 n 个步骤有 mn 种 不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法.又称乘 法原理. ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的,那么计算完成这件事的方法数 时,使用分类计数原理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各 个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计算完成这件事的方法数时, 使用分步计数原理. 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也 是求解排列、组合问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学 好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴排列:一般地,从 n 个不同的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素,按照一定的顺 序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (其中被取 的对象叫做元素) 排列数:从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数,叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用符号 A m 表示. n m 排列数公式: An ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) , m ,n ? N? ,并且 m ≤ n . 全排列:一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的 一个全排列. n 的阶乘:正整数由 1 到 n 的连乘积,叫作 n 的阶乘,用 n ! 表示.规定:0! ? 1 .

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⑵组合:一般地,从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素并成一组, 叫做从 n 个元素中任取 m 个元素的一个组合. 组合数:从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数, 叫做从 n 个不同元素中,任意取出 m 个元素的组合数,用符号 Cm 表示. n 组合数公式: Cm ? n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1) ? n
m! n! , m, n ? N? ,并且 m ≤ n . m !(n ? m)!

组合数的两个性质:性质 1: Cm ? Cn?m ;性质 2: Cm?1 ? Cm ? Cm?1 . (规定 C0 ? 1 ) n n n n n n ⑶排列组合综合问题 解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄 清是分类还是分步,是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组 合问题的解法: 1.特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计 算,一定要做到分类明确,层次清楚,不重不漏. 3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方 法. 4.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个” 元素,与其它元素进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列. 5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的 元素插空. 6.插板法: n 个相同元素,分成 m(m ≤ n) 组,每组至少一个的分组问题— —把 n 个元素排成一排,从 n ? 1 个空中选 m ? 1 个空,各插一个隔板,有 Cnm??11 . 7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部 分等分之别.一般地平均分成 n 堆(组),必须除以 n !,如果有 m 堆(组) 元素个数相等,必须除以 m ! 8.错位法:编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个 盒子放一个小球, 要求小球与盒子的编号都不同, 这种排列称为错位排列, 特别当 n ? 2 ,3,4,5 时的错位数各为 1,2,9,44.关于 5、6、7 个元素 的错位排列的计算,可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位排 列的问题.

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1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题 通常有三种途径: ①元素分析法: 以元素为主, 应先满足特殊元素的要求, 再考虑其他元素; ②位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他 位置; ③间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求 的排列数或组合数. 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题;再通过分析确 定运用分类计数原理还是分步计数原理; 然后分析题目条件, 避免 “选取” 时重复和遗漏;最后列出式子计算作答. 2.具体的解题策略有: ①对特殊元素进行优先安排; ②理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏; ③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复; ④对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插 空法或隔板法; ⑤顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理; ⑥对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面. ⑦对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.

典例分析
1、用 0 , 3 , 4 , 5 , 6 排成无重复字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字 也相邻,则这样的五位数的个数是_________. (用数字作答) 2、由正方体的 8 个顶点可确定多少个不同的平面?

3、如图,一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻地区不 得使用同一颜色,现有 4 种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种. (以数字作答)

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B C D 4、如图,一环形花坛分成 A , , , 四块,现有 4 种不同的花供选种,要

求在每块里种 1 种花, 且相邻的 2 块种不同的花, 则不同的种法总数为 ( ) A.96 B.84 C.60 D.48

5、某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为 6 个部分(如图) .现要栽 种 4 种不同颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花, 不同的栽种方法有 种. (以数字作答)

6、用 0 ,1 , 2 , 3 , 4 , 5 这 6 个数字,可以组成_______个大于 3000 ,小于 5421 的数字不重复的四位数.

7、同室 4 人各写 1 张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿 1 张别人送出 的贺年卡,则 4 张贺年卡不同的分配方式有( ) A. 6 种 B. 9 种 C . 11 种 D. 23 种

8、某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个 新节目, 如果将这 3 个节目插入原节目单中, 那么不同的插法种数为 ( ) A. 504 B. 210 C. 336 D. 120

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9、某班学生参加植树节活动,苗圃中有甲、乙、丙 3 种不同的树苗,从 中取出 5 棵分别种植在排成一排的 5 个树坑内,同种树苗不能相邻,且第 一个树坑和第 5 个树坑只能种甲种树苗的种法共( ) A.15 种 B.12 种 C.9 种 D.6 种

10、如图所示,画中的一朵花,有五片花瓣.现有四种不同颜色的画笔可 供选择,规定每片花瓣都要涂色,且只涂一种颜色.若涂完的花中颜色相 同的花瓣恰有三片, 则不同涂法种数为 (用数字作答) .

11、 0 到 9 这 10 个数字, 用 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( A. 324 B. 328 C. 360 D. 648



2 ? 9 12、 用红、 蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1, ,? ? , 的 9 个小正方形 黄、 (如

图) ,使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且“ 3 、 5 、 7 ”号数字涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有( )种.
1 4 7 2 5 8 3 6 9

A. 72

B. 108

C. 144

D. 192

13、足球比赛的计分规则是:胜一场得 3 分,平一场得 1 分,负一场得 0 分,那么一个队打 14 场共得 19 分的情况有( )

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A. 3 种

B. 4 种

C. 5 种

D. 6 种

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