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【全国百强校】甘肃省西北师大附中高中物理奥赛复赛讲义第一部分 力学之刚体力学问题


2.刚体力学问题 (1)刚体组的运动问题 例题 3: (第 28 届复赛真题) (25 分)图中所示为用三角形刚性细杆 AB、BC、CD 连 成的平面连杆结构图。AB 和 CD 杆可分别绕过 A、D 的垂直于纸面的固定轴转动,A、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分别与 AB 杆和 CD 杆相连,可绕连接处转动(类似 铰链) 。当 AB 杆绕 A 轴以恒定的角速度 ? 转到

图中所示的位置时,AB 杆处于竖直位置。 BC 杆与 CD 杆都与水平方向成 45° 角,已知 AB 杆的长度为 l ,BC 杆和 CD 杆的长度由图 给定。求此时 C 点加速度 a c 的大小和方向(用与 CD 杆之间的夹角表示) 。 解析: 解法一:因为 B 点绕 A 轴作圆周运动,其速度的大小为 vB ? ? l (1) (2) B 点的向心加速度的大小为 aB ? ? 2l 因为是匀角速转动,B 点的切向加速度为 0,故 a B 也 是 B 点的加速度,其方向沿 BA 方向.因为 C 点绕 D 轴作 圆周运动,其速度的大小用 v C 表示,方向垂直于杆 CD, 在考察的时刻,由图可知,其方向沿杆 BC 方向.因 BC 是 刚性杆,所以 B 点和 C 点沿 BC 方向的速度必相等,故有 π 2 ? ?l (3) 4 2 此时杆 CD 绕 D 轴按顺时针方向转动,C 点的法向加速度: v2 aCn ? C (4) CD vC ? vB cos 由图可知 CD ? 2 2l ,由(3) 、 (4)式得 aC t B A aC ? C aCn vC vCB ? vB D 2 2 aCn ? ?l (5) 8 其方向沿 CD 方向. 下面来分析 C 点沿垂直于杆 CD 方向的加速度, 即切向加速度 a Ct .因为 BC 是刚性杆, 所以 C 点相对 B 点的运动只能是绕 B 的转动, C 点相对 B 点的速度方向必垂直于杆 BC. 令 vCB 表示其速度的大小,根据速度合成公式有 vCB ? vC ? vB 由几何关系得 vCB ? 2 2 vB ? vC ? 2 2 vB ? ?l 2 2 (6) 由于 C 点绕 B 作圆周运动,相对 B 的向心加速度 v2 aCB ? CB (7) CB 因为 CB ? 2l ,故有 2 2 ? l (8) 4 其方向垂直杆 CD. 由(2)式及图可知,B 点的加速度沿 BC 杆的分量为: aCB ? ? aB ?BC ? aB cos π (9) 4 3 2 2 ? l (10) 4 所以 C 点相对 A 点(或 D 点)的加速度沿垂直于杆 CD 方向的分量: aCt ? aCB ? ? aB ? BC ? C 点的总加速度为 C 点绕 D 点作圆周运动的法向加速度 aCn 与切向加速度 aCt 的合加速 度,即 2 2 aC ? aCn ? aCt ? 74 2 ?l 8 (11) aC 的方向与杆 CD 间的夹角 ? ? arctan aCt ? arctan 6 ? 80.54? (12) aCn 解法二:通过微商求 C 点加速度 以固定点 A 为原点作一直角坐标系 Axy, Ax 轴与 AD 重合, Ay 与 AD 垂直. 任意时刻 t, 连杆的位形如图所示, 此时各杆的位置分别用 ? , ? 和? y CD ? 2 2l ,AD ? 3l , 表示, 且已知 AB ? l ,BC ? 2l , C d? ? ?? ,C 点坐标表示为 dt xC ? l

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