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广东省茂名市2013届高三第一次高考模拟数学理试题


茂名市 2013 年第一次高考模拟考试(理科)
一、选择题: (本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 设集合 A ? {x | ?1 ≤ x ≤ 2? , B ? {x | ?1 ≤ x ≤ 1? ,则( )

2. 计算: i(1 ? i)2 ? ( A. 2i
<

br />) B.- 2i C. 2 D. -2

3. 已知 f (x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 x ,则 f ( ? ) ? ( B. 1 C. ?1 ? ? ? ? 4. 已知向量 a ? ( x ?1, 2), b ? (2,1) ,则 a ? b 的充要条件是( A. 2 A. x ? 0 B. x ? 5 C. x ? ?1 D. ? 2 )

1 2



D. x ? ?

1 2

5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是 1 的正方形,且其体积为 俯视图可以是( )

1 ,则该几何体的 2

6. 已知函数 y ? sin x ? cos x ,则下列结论正确的是( A. 此函数的图象关于直线 x ? ? C. 此函数在区间 ( ?



?
4

对称

B. 此函数的最大值为 1 D. 此函数的最小正周期为 ?

? ?

, ) 上是增函数 4 4


7. 某程序框图如图所示,该程序运行后, 输出的 x 值为 31,则 a 等于( A. 0 C. 2 B. 1 D. 3

?x ? y ? 3 ? 8. 已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 , ?y ? 1 ?
若 0 ? ax ? by ? 2 ,则 A. [0,1]

b?2 的取值范围为( a ?1
C. [1,3]

) D. [2,3]

B. [1,10]

第二部分 非选择题(共 100 分) 二、填空题(本大题共 7 小题,分为必做题和选做题两部分,每小题 5 分,满分 30 分) 。

(一)必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答。
2 9. 已知等比数列 {an } 的公比 q 为正数,且 a3 ? a9 ? 2a5 ,则 q =

.

10. 计算

. . .

11. 已知双曲线 x2 ? ky 2 ? 1 的一个焦点是( 5,) 0 ,则其渐近线方程为 12. 若 (2 x ?

1 n 则展开式的常数项为 ) 的展开式中所有二项式系数之和为 64, x

13. 已知 21 ?1 ? 2, 22 ?1? 3 ? 3? 4, 23 ?1? 3? 5 ? 4 ? 5 ? 6, 24 ?1? 3? 5 ? 7 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8, … 依此类推,第 n 个等式为 . (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的只算前一题得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的参数方程为 ? C 上的点到直线 3 x -4 y +4=0 的距离的最大值为 15.(几何证明选讲选做题)如图,⊙O 的直径 AB=6cm,P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C,连接 AC, 若∠CPA=30°,PC=_____________ 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 如图, A 为钝角, sin A ? 角 且 两边上不同于点 A 的动点. (1)若 AP =5, PQ = 3 5 ,求 AQ 的长; (2)设 ?APQ ? ? , ?AQP ? ? , 且 cos ? ? 17.(本小题满分 12 分) 某连锁超市有 A 、 B 两家分店,对该超市某种商品一个月 30 天的销售量进行统计: A 分店的销售量为 200 件和 300 件的天数各有 15 天; B 分店的统计结果如下表: 销售量(单位:件) 天 数 200 10 300 15 400 5

? x ? 2 ? cos? (θ 为参数),则曲线 ? y ? sin ?

3 , P 、Q 分别是在角 A 的 点 5

12 , 求 sin( 2? ? ? ) 的值. 13

(1)根据上面统计结果,求出 B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率; (2)已知每件该商品的销售利润为 1 元, ? 表示超市 A 、 B 两分店某天销售该商品的 利润之和,若以频率作为概率,且 A 、 B 两分店的销售量相互独立,求 ? 的分布 列和数学期望.

18.(本小题满分 14 分) 如图, PDCE 为矩形, ABCD 为梯形,平面 PDCE ^ 平面 ABCD ,

?BAD ? ?ADC ? 90? ,AB ? AD ?

1 CD ? a, PD ? 2a . 2

(1)若 M 为 PA 中点,求证: AC ∥平面 MDE ; (2)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小. 19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an },{bn } 中,a1 ? b1 ? 1 ,且当 n ? 2 时,an ? nan?1 ? 0 ,bn ? 2bn?1 ? 2n?1 . 记 n 的阶乘 n(n ? 1)(n ? 2)?3 ? 2 ?1 ? n ! (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求证:数列 { (3)若 cn ?

bn } 为等差数列; 2n

an ? bn ? 2n ,求 {cn } 的前 n 项和. an ? 2

20.(本小题满分 14 分)

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,连接椭圆的四个顶点得到 2 a b 3 的四边形的面积为 2 6 . (1)求椭圆 C1 的方程;
已知椭圆 C1 : (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F ,右焦点为 F2 ,直线 l1 过点 F 且垂直于椭圆的长轴,动直 1 1 线 l2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3) O 为坐标原点, C2 上不同于 O 的点 S, OS 为直径作圆与 C2 相交另外一点 R, 设 取 以 求该圆面积的最小值时点 S 的坐标. 21.(本小题满分 14 分)

1 3 ax ? 2 x 2 ? 2 x ,函数 f ( x) 是函数 g ( x) 的导函数. 3 (1)若 a ? 1 ,求 g ( x) 的单调减区间; x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? (2)若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,都有 f ( 1 ,求实数 a 的 2 2
已知函数 g ( x) ? 取值范围; (3)在第(2)问求出的实数 a 的范围内,若存在一个与 a 有关的负数 M ,使得对任意 x ?[ M , 0] 时 | f ( x) |? 4 恒成立,求 M 的最小值及相应的 a 值.

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)
题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

9. 2 ;

10. e ;
2

11. y ? ?2 x ;

12. ?160 ;

13. 2 n ?1? 3 ? 5 ? ?? (2n ? 1) ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? ?? (n ? n) ; 14. 3; 15. 3 3. 三、解答题(共 80 分) 16. 解: (1)? ?A 是钝角, sin A ?

3 4 ,? cos A ? ? ……………………1 分 5 5 在 ?APQ 中,由余弦定理得: PQ2 ? AP2 ? AQ2 ? 2 AP ? AQ cos A
所以 AQ2 ? 8AQ ? 20 ? 0 ……………………4 分 …………………………6 分 …………………………7 分

解得 AQ ? 2 或 ?10 (舍去负值) ,所以 AQ ? 2 (2)由 cos ? ?

12 5 , 得 sin ? ? 13 13 在三角形 APQ 中, ? ? ? ? A ? ?
又 sin(? ? ? ) ? sin(? ? A) ? sin A ?

3 , 5

…………………………8 分

4 …………………………9 分 5 ?sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ………11 分 5 4 12 3 56 ? ? ? ? ? ………………………12 分 13 5 13 5 65 1 1 1 17. 解: (1)B 分店销售量为 200 件、300 件、400 件的频率分别为 , 和 ………3 分 3 2 6 1 (2)A 分店销售量为 200 件、300 件的频率均为 , ……………4 分 2 ……………5 分 ? 的可能值为 400,500,600,700,且 1 1 1 1 1 1 1 5 P( ? =400)= ? ? , P( ? =500)= ? ? ? ? , 2 3 6 2 2 3 2 12 cos(? ? ? ) ? ? cos A ?
P( ? =600)=

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? , P( ? =700)= ? ? , ………9 分 2 6 2 2 3 2 6 12

? 的分布列为
?
400 500 600 700

P
E? =400 ?

1 6

5 12

1 3

1 12
……………10 分

1 5 1 1 1600 +500 ? +600 ? +700 ? = (元) …………………12 分 6 12 3 12 3
∴ MN // AC ………………2 分 ………………4 分

18.(1)证明:连结 PC ,交 DE 与 N ,连结 MN ,

?PAC 中, M , N 分别为两腰 PA, PC 的中点

因为 MN ? 面 MDE ,又 AC ? 面 MDE ,所以 AC // 平面 MDE

(2)解法一:设平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小为 ? ,以 D 为空间坐标系的原 点,分别以 DA, DC , DP 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,则

??? ? ??? ? P(0,0, 2a), B(a, a,0), C(0, 2a,0) PB ? (a, a, ? 2a), BC ? (?a, a,0) ………6 分 ?? ?? 设平面 PAD 的单位法向量为 n1 ,则可设 n1 ? (0,1,0) ……………………………7 分 ?? ? 设面 PBC 的法向量 n2 ? ( x, y,1) ,应有 ?? ??? ? ? ?n2 ? PB ? ( x, y,1) ? (a, a, ? 2a) ? 0 ? ? ? ? ?? ??? ?n2 ? BC ? ( x, y,1) ? (?a, a, 0) ? 0 ?
即: ?

?ax ? ay ? 2a ? 0 ? ??ax ? ay ? 0 ?

? 2 ?x ? ?? ? 2 ,所以 n? ? ( 2 , 2 ,1) …………………………………………12 分 解得: ? 2 2 2 ?y ? 2 ? ? 2

2 ?? ?? ? n1 ? n2 1 ∴ cos ? ? ?? ?? ? 2 ? ……………………………………………………13 分 ? n1 ? n2 1? 2 2
所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°………………………………………14 分 解法二:延长 CB、DA 相交于 G,连接 PG,过点 D 作 DH⊥PG ,垂足为 H,连结 HC ……………………6 分 ∵矩形 PDCE 中 PD⊥DC,而 AD⊥DC,PD∩AD=D ∴CD⊥平面 PAD ∴CD⊥PG,又 CD∩DH=D ∴PG⊥平面 CDH,从而 PG⊥HC ………………8 分 ∴∠DHC 为平面 PAD 与平面 PBC 所成的锐二面角的平 面角 ………………………………………………10 分 在 Rt ? △ PDG 中, DG ? 2 AD ? 2a , PD = 分 在 Rt △ CDH 中, tan?DHC ?

2a 可以计算 DH ?

2 3a …12 3

CD 2a ? ? DH 2 3a 3

3 ……………………………13

分 所以平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角为 60°………………………………………14 分 19. 解: (1)? an ? nan?1 ? 0 , n ? 2 , a1 ? 1

? an ? nan?1 ? n(n ?1)an?2 ? n(n ?1)(n ? 2)an?3 ? ???

? n(n ?1)(n ? 2)?3 ? 2 ? a1 ? n ! …………………………………………2 分
又 a1 ? 1 ? 1 ,? an ? n ! ………………………………………………………3 分 !

(2)由 bn ? 2bn?1 ? 2n?1 两边同时除以 2 得
n

bn bn ?1 1 bn bn ?1 1 ? n ?1 ? 即 n ? n ?1 ? ? …4 n 2 2 2 2 2 2

分 ∴数列 {

bn 1 1 } 是以 为首项,公差为 ? 的等差数列 …………………………5 分 n 2 2 2

bn 1 1 n n ? ? (n ? 1)(? ) ? 1 ? ,故 bn ? 2n (1 ? ) ……………………………6 分 n 2 2 2 2 2
(3)因为

an 1 1 1 ? ? ? , bn ? 2n ? ?n ? 2n?1 ………………8 分 an? 2 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 a a1 a2 a3 ? ? ? ??? ? n a3 a4 a5 an? 2

记 An =

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 An ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? ………10 分 2 3 3 4 4 5 n ?1 n ? 2 2 n?2
记 {bn ? 2n } 的前 n 项和为 Bn 则 Bn ? ?1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ???? ? n ? 2n?1 ∴ 2Bn ? ?1? 21 ? 2 ? 22 ???? ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n 由 ②-① 得 ① ② :

Bn ? 20 ?

?

???? ?

n?

? n21 n ? ?

1 ? 2n ? n ? 2n ? (1 ? 22 ? 2n ? 1 n) 1? 2
n

2

1

……………………………………………………………………………………13 分 ∴ Sn ? c1 ? c2 ? c3 ???? ? cn = An ? Bn ? (1 ? n) ? 2 ? 20. 解: (1)解:由 e ?

1 1 ? ……………14 分 2 n?2

3 6 2 2 2 2 2 ,得 a ? 3c ,再由 c ? a ? b ,解得 a ? b …………1 分 3 2 1 由题意可知 ? 2a ? 2b ? 2 6 ,即 a ? b ? 6 …………………………………2 分 2 ? 6 b ?a ? 解方程组 ? 2 得 a ? 3, b ? 2 ………………………………………3 分 ? ab ? 6 ?
所以椭圆 C1 的方程是

x2 y 2 ? ? 1 ………………………………………………3 分 3 2 (2)因为 MP ? MF2 ,所以动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F2 (1,
0)的距离,所以动点 M 的轨迹 C2 是以 l1 为准线, F2 为焦点的抛物线,…6 分 所以点 M 的轨迹 C2 的方程为 y ? 4 x …………………………………………7
2



(3)因为以 OS 为直径的圆与 C2 相交于点 R ,所以∠ORS = 90° ,即 OR ? SR ? 0 ……………………………………………………………………………………8

??? ??? ?



设 S ( x1 , y1 ) ,R( x2 , y2 ) SR =( x2 - x1 , y2 - y1 ) OR =( x2 , y2 ) , ,

???

??? ?

y2 2 ( y2 2 ? y12 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 0 16 ? 16 ? 因为 y1 ? y2 , y2 ? 0 ,化简得 y1 ? ? ? y2 ? ? ……………………………10 y2 ? ?
所以 OR ? SR ? x2 ( x2 ? x1 ) ? y2 ( y2 ? y1 ) ? 分
2 所以 y12 ? y2 ?

??? ??? ?

256 2 256 ? 32 ? 2 y2 ? 2 ? 32 ? 64 , 2 y2 y2
256 2 即 y2 =16,y2=± 时等号成立. ………………………12 分 4 2 y2

当且仅当 y2 ?
2

圆的直径|OS|=

y14 1 1 x ?y ? ? y12 ? y14 ? 16 y12 ? ( y12 ? 8)2 ? 64 16 4 4
2 1 2 1

因为 y12 ≥64,所以当 y12 =64 即 y1 =± 时, OS min ? 8 5 , ……………13 分 8 所以所求圆的面积的最小时,点 S 的坐标为(16,± 8)……………………14 分 21. 解: (1)当 a ? 1 时, g ( x) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? 2 x , g '( x) ? x2 ? 4x ? 2 …………………1 分 3
……………………2 分

由 g '( x) ? 0 解得 ?2 ? 6 ? x ? ?2 ? 6

? 当 a ? 1 时函数 g ( x) 的单调减区间为 (?2 ? 6, ?2 ? 6) ;………………3 分
(2)易知 f ( x) ? g '( x) ? ax ? 4x ? 2
2

依题意知

f(

x1 ? x 2 f ( x 1)? f x ( )? 2 2

2

)

2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 ax12 ? 4 x1 ? 2 ? ax2 ? 4 x2 ? 2 ? a( ) ? 4( )?2? 2 2 2 a ? ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 0 …………………………………………………………5 分 4 因为 x1 ? x2 ,所以 a ? 0 ,即实数 a 的取值范围是 (0, ??) ;………………6 分

(3)解法一:易知 f ( x) ? ax ? 4 x ? 2 ? a ( x ? ) ? 2 ?
2 2

2 a

4 ,a ? 0. a
………………7 分

显然 f (0) ? ?2 ,由(2)知抛物线的对称轴 x ? ? ①当 ?2 ?
2

2 ?0 a

4 2 ? ?4 即 0 ? a ? 2 时, M ? (? , 0) 且 f (M ) ? ?4 a a

令 ax ? 4 x ? 2 ? ?4 解得 x ? 此时 M 取较大的根,即 M ?

?2 ? 4 ? 2a a

……………………8 分

?2 ? 4 ? 2a ?2 …………………9 分 ? a 4 ? 2a ? 2

?0 ? a ? 2, ?M ?
②当 ?2 ?
2

?2 ? ?1 4 ? 2a ? 2

………………………10 分

4 2 ? ?4 即 a ? 2 时, M ? ? 且 f ? M ? ? 4 a a

令 ax ? 4 x ? 2 ? 4 解得 x ?

?2 ? 4 ? 6a a

……………………11 分 ………………12 分

此时 M 取较小的根,即 M ?

?2 ? 4 ? 6a ?6 ? a 4 ? 6a ? 2

? a ? 2, ? M ?

?6 ? ?3 当且仅当 a ? 2 时取等号 …………13 分 4 ? 6a ? 2
……………………14 分

由于 ?3 ? ?1 ,所以当 a ? 2 时, M 取得最小值 ?3

解法二:对任意 x ? [ M , 0] 时,“ | f ( x) |? 4 恒成立”等价于“ f ( x)max ? 4 且

f ( x)min ? ?4 ”
由(2)可知实数 a 的取值范围是 (0, ??) 故 f ( x) ? ax2 ? 4 x ? 2 的图象是开口向上,对称轴 x ? ? 分 ①当 ?

2 ? 0 的抛物线……7 a

2 ? M ? 0 时, f ( x) 在区间 [ M , 0] 上单调递增, a

∴ f ( x)max ? f (0) ? ?2 ? 4 , 要使 M 最小,只需要

f ( x)min ? f (M ) ? aM 2 ? 4M ? 2 ? ?4 ………8 分
若 ? ? 16 ? 8a ? 0 即 a ? 2 时,无解 若 ? ? 16 ? 8a ? 0 即 0 ? a ? 2 时,………………9 分 解得 M ?

?2 ? 4 ? 2a 2 ?2 ? 4 ? 2a ? ? (舍去) 或 M ? ? ?1 a a a
2 2 时, f ( x ) 在区间 [ M , ? ] 上单调递减, a a

故 M ? ?1 (当且仅当 a ? 2 时取等号)…………10 分 ②当 M ? ? 在 (?

2 , 0] 递增, f (0) ? ?2 ? 4, a

2 4 f (? ) ? ?2 ? ? ?4 则 a ? 2 ,…………………11 分 a a
要使 M 最小,则 f ( M ) ? aM ? 4M ? 2 ? 4 即
2

aM 2 ? 4M ? 6 ? 0 ……………………………………………………………12 分

解得 M ? 或M ? 分

?2 ? 4 ? 6a 2 ? ? (舍去) a a

?2 ? 4 ? 6a ?6 ? ? ?3 (当且仅当 a ? 2 时取等号)……13 a 4 ? 6a ? 2

综上所述,当 a ? 2 时, M 的最小值为 ?3 . …………………………………14 分


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